Tout élément de structure d’une machine tournante qui participe au mouvement rotatif possède un axe de symétrie. Cet axe est aussi l’axe central principal d’inertie de masse, et les moments de déviation de masse dans sa direction sont nuls. Si l’élément tourne effectivement autour de cet axe, sa masse n’excite pas le mouvement et n’induit donc pas d’efforts dans ses appuis.
Les systèmes mécaniques qui coopèrent en mouvement rotatif sont généralement conçus de sorte que leurs axes de symétrie coïncident également une fois assemblés. En raison des erreurs de forme et d’assemblage, l’axe de rotation commun réel du système ne coïncide le plus souvent pas avec un axe choisi d’un élément constitutif. Par conséquent, le centre de gravité commun de tous les composants d’un système tournant ne se situe pas sur l’axe de rotation réel. Certains composants peuvent également être fixés de travers, c’est-à-dire avec une erreur angulaire. De ce fait, l’axe principal d’inertie de masse de l’ensemble du rotor est oblique par rapport à l’axe de rotation réel. La position de l’axe réel est déterminée par le palier (c’est-à-dire par les liaisons). Ce décalage entre les deux axes (l’axe central principal d’inertie et l’axe de rotation réel) est à l’origine de l’excitation du mouvement et des efforts supplémentaires qui apparaissent aux points d’appui du rotor. Cette excitation a pour particularité que l’amplitude de la force excitatrice augmente avec la vitesse de rotation du rotor rigide et que sa direction reste constante par rapport au rotor.
Dans une machine tournante, l’élément qui assure la liaison avec le rotor et le maintient dans l’axe de rotation est directement exposé aux forces dues au balourd. Il s’agit des paliers montés sur les tourillons du rotor. Les forces d’inertie tournantes y rencontrent les réactions des portées.
L’exemple suivant montre l’effet destructeur des forces dues au balourd sur la durée de vie des roulements. Cette influence est manifeste, car les roulements à billes résistent mécaniquement, entre autres, aux forces externes et latérales. Ces forces latérales, que nous appelons forces d’inertie, apparaissent lorsque la masse du rotor est accélérée. Elles s’opposent à cette accélération. Comme il existe une accélération centripète dans le mouvement rotatif, les forces d’inertie agissent de façon centrifuge, et leurs amplitudes dépendent de la vitesse de rotation.
Modélisation du rotor et du disque d’embrayage
Afin d’analyser l’effet du balourd sur la durabilité et sur le choix du palier, le modèle suivant de liaison entre le rotor et le demi-accouplement a été retenu. Le rotor est supporté symétriquement par rapport à son centre de gravité. Pour simplifier l’analyse, on a supposé que le matériau du rotor est homogène sur toute sa masse. Le faux-rond mesuré du tourillon du rotor peut provenir de la courbure de l’arbre ou d’un usinage imprécis.
Données d’entrée :
M1 = 500 kg (masse du rotor), M2 = 60 kg (masse du disque d’accouplement), d1 = 34 984 mm (diamètre de l’arbre du rotor), D1 = 600 mm (diamètre de l’arbre extérieur du rotor), D2 = 3,5H7 mm (diamètre de l’alésage réalisé dans le disque d’accouplement), W = 24 μm (faux-rond radial mesuré sur l’arbre du rotor), Lh = 10 000 heures (nombre d’heures de fonctionnement sans incident supposé par le concepteur du dispositif à rotor), n = 2 900 tr/min (vitesse de rotation du rotor).
Le rotor dispose d’un procès-verbal d’équilibrage en cours de validité attestant qu’il a été équilibré en classe G40. Le disque d’embrayage dispose d’un procès-verbal d’équilibrage en cours de validité attestant qu’il a été équilibré en classe G1.
Procédure retenue :
a) Les valeurs de balourd seront déterminées sans recourir à une équilibreuse.
b) Pour estimer la valeur des forces d’inertie tournantes, un comparateur servira à mesurer le faux-rond W, ainsi que le diamètre d1 de l’arbre ; le diamètre D2 de l’alésage du disque sera relevé dans le tableau.
c) Faute de pouvoir mesurer la valeur du balourd avec une machine d’équilibrage, la composition des forces dues au balourd sera supposée dans les conditions les moins favorables. Ces conditions correspondent à l’addition de vecteurs de même direction (en réalité, les forces peuvent s’additionner dans des directions différentes).
Il a été retenu d’analyser le palier B, qui est soumis aux plus fortes forces latérales.
L’hypothèse selon laquelle un rotor de masse M1 = 500 kg présente un balourd initial de classe G40 signifie un déplacement e1 de son centre de gravité c1 de la valeur déterminée ci-dessous.
¹ M. Malec : Dynamic balancing of rotors in theory and practice. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Détermination de la valeur du balourd
Pour déterminer la valeur du balourd, on utilise la relation suivante :
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Où : – est le balourd du rotor, – la classe de précision d’équilibrage, – la vitesse de rotation, – la masse en rotation¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
L’excentricité sera déterminée 𝑚𝑚$ à partir de la valeur de la masse de correction qui équilibrerait le rotor s’il était placé au rayon .
La relation (1), après transformation pour un balourd G40 et une rotation n = 2900 obr/min, prend la forme suivante :
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Où : est une masse concentrée en un point, située sur un rayon , qui génère un balourd .
Utilisez la relation d’égalité des moments statiques du rotor entier sur l’excentricité et de la masse de correction d’équilibrage placée sur le diamètre :
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
D’où :
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
« [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 »
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE "
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Par conséquent, le faux-rond radial à mesurer sur la surface cylindrique :
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Les composantes de force agissant sur le palier sont :
a) F1, constante en valeur et en direction, résultant du poids du rotor et de l’accouplement,
b) F2 tournante, résultant du balourd du rotor,
c) F3 tournante, résultant du balourd du disque d’embrayage causé par l’excentricité de sa fixation sur l’arbre du rotor (remarque : on suppose que le disque d’embrayage a été équilibré et que son balourd résiduel a une faible valeur pouvant être négligée).
Les trois forces composantes s’exerçant sur le palier
La force de pesanteur exercée sur le rotor est toujours dirigée vers le bas. Les forces d’inertie dues au balourd tournent avec le rotor. Le palier est donc soumis à une force variable en valeur et en direction. La valeur varie d’un minimum, qui est de, à un maximum, qui est de La direction de l’action résultante est variable dans la plage de . On a supposé ici que l’accouplement était fixé sur l’arbre dans la disposition relative la plus défavorable des jeux et, par conséquent, des forces d’inertie, faute de maîtrise de la position angulaire de l’accouplement et du balourd du rotor.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹 ! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹 ! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Détermination des forces agissant sur le palier B.
𝐹𝐹« = 1 2 [𝑀𝑀 !𝜔𝜔 »𝑒𝑒 !] = 1 2 _𝑀𝑀 ! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a »
Jeu dans le montage du disque d’embrayage
Le calcul de la force sera précédé d’une analyse dimensionnelle du couple cinématique constitué par l’arbre et le disque d’embrayage.
La pratique montre que les éléments montés sur les arbres de rotor sont une source de balourd supplémentaire et donc de vibrations supplémentaires des groupes. Il convient d’analyser d’abord le comportement du disque d’embrayage une fois monté sur l’arbre du rotor.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹 ! = 𝑀𝑀 ! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9,81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒 !b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3,14 ∙2900 30 e "
0,131f = 3017 𝑁𝑁 " !. !$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
Le disque d’embrayage peut être fixé sur le rotor de façon quelconque, mais dans les limites de son jeu, et ce jeu peut se résorber selon n’importe quel angle aléatoire dans le plan perpendiculaire à l’axe de rotation. Conformément aux règles, nous retenons le cas le plus défavorable : le faux-rond de l’arbre et l’écart maximal d’exécution de l’alésage s’additionnent dans la même direction.
Dans les plans où les paliers sont montés, le rotor tourne par rapport à l’axe de rotation réel 1. L’axe géométrique de l’extrémité de l’arbre du rotor est l’axe 3. L’axe central principal d’inertie du disque d’accouplement, avec son centre de gravité c2, est l’axe 2.
Excentricité de la position du centre de gravité du disque d’embrayage résultant du faux-rond transversal de l’arbre :
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricité résultant d’un arbre réalisé en dessous de la valeur nominale et d’un alésage à l’écart supérieur :
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricité totale du montage du disque d’embrayage sur l’arbre du rotor :
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricité résultant de la fixation décentrée du disque d’embrayage :
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Force due à l’excentricité du disque d’embrayage
La force F3 est déterminée par la relation suivante :
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔« = 𝑀𝑀 »𝑒𝑒’0&𝜔𝜔 » = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3.14 ∙2900 La force réelle sur le palier B, obtenue avec l’équation de la somme des moments par rapport, par exemple, au point A indiqué à la figure 1, est :
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 Dans le cas où, après le processus de fabrication du rotor et avant son équilibrage, son balourd correspond à la classe de qualité d’équilibrage G40, avec une répartition uniforme de la charge du palier due au poids du rotor, les forces composantes qui sollicitent le palier B ont les valeurs suivantes :
Tableau 1. Forces agissant sur le palier B à n = 2900 obr/min et pour un balourd initial G40.
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Lors du choix des paliers d’après le catalogue, par exemple SKF, dans des conditions de charge tournante, il convient de déterminer la valeur du facteur de variation de charge et de l’intégrer à l’équation servant à déterminer la charge moyenne :
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹 ! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/)
Choix du palier : le coefficient fm
Pour déterminer ce coefficient, tracez la fonction r𝑓𝑓& de variation du paramètre en fonction des valeurs des forces tournantes F2 et F3 (graphique 1²).
Pour déterminer la valeur du coefficient fm, effectuez un calcul auxiliaire :
𝐹𝐹 ! 𝐹𝐹 ! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Pour la valeur calculée, on relève sur le graphique 1 du catalogue : fm = 0,77.
² Catalogue de roulements à rouleaux r𝑓𝑓& 𝐹 Pour cette valeur de fm, la charge moyenne du palier, selon le catalogue, est :
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹 ! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Hypothèses relatives à la durée de vie des roulements requise
Formulation d’hypothèses sur la durée de vie des roulements requise :
a) les forces agissant sur le palier ont une direction radiale, d’où la charge dynamique équivalente : P = Fm,
b) on suppose que le palier doit fonctionner pendant heures.
À l’aide du graphique de calcul des paliers, vous pouvez vérifier l’effet de la valeur des forces latérales :
c) on suppose que le palier doit fonctionner Lh = 10 000 heures
d) la réduction de la durée de fonctionnement du palier utilisé due aux forces de rotation supplémentaires.
Pour le point c., sélectionnez un palier en déterminant la capacité de charge dynamique nominale C.
Quelques remarques sur la construction des abaques.
Construction des abaques
Les nomogrammes ont été élaborés à une époque où les concepteurs de rotors utilisaient de simples outils de calcul. Leur intérêt actuel tient principalement à la bonne visualisation du processus de choix des paliers.
Le terme nomogrammes est employé au pluriel, car l’alignement vertical des axes P[N] et C[N] par rapport aux autres axes peut être légèrement décalé selon les abaques établis par les différents fabricants de paliers. Il dépend des performances obtenues avec le palier. Les axes Lh[h], L[mln rpm.] et n[rpm] sont liés entre eux de façon univoque par la cinématique du rotor. Par exemple : en 100 heures de fonctionnement à 2500 rpm, le rotor effectue 100•2500•60=15 millions de tours. Ces trois axes sont disposés les uns par rapport aux autres de telle sorte que toute droite reliant la vitesse de rotation choisie au nombre d’heures de fonctionnement sans défaillance du palier donnera le résultat correct de la multiplication ci-dessus sur l’axe L[mln rpm].
La position et les échelles des autres axes découlent des performances des paliers du fabricant concerné. Ils sont placés et étirés, dans le sens de leur longueur, de telle sorte qu’une autre droite, passant par le point précédemment déterminé sur l’axe L[million rpm], relie la valeur des forces latérales totales dans le palier, indiquée sur l’axe P, à la valeur déterminée de C, qui détermine le choix de la taille du palier³.
L’adoption d’une échelle logarithmique raccourcit la longueur des axes.
Dans le nomogramme 1, la droite 1 est une droite auxiliaire qui, pour le nombre d’heures de fonctionnement Lh supposé et pour la vitesse de rotor donnée n=2900 rpm, détermine sur l’axe L le nombre de tours, exprimé en millions, effectué pendant la durée supposée. La droite 2, qui coupe le point ainsi déterminé sur l’axe L et passe simultanément par le point correspondant à la charge statique du palier (2452 N), détermine à son autre extrémité la capacité de charge statique nominale requise du palier C. Elle s’élève ici à environ 32 kN. Il s’agit de la capacité de charge pour le cas statique.
La droite 3, qui passe par le point déterminé par la droite 1 sur l’axe L et par le point correspondant à la charge totale statique et dynamique Fm = P, exprimée dans l’équation (2) et s’élevant à 4376 N, détermine la nouvelle capacité dynamique nominale requise du palier. Elle s’élève ici à environ 54 kN.
Nomogramme 1. Sélection de la capacité de charge dynamique nominale C du palier pour le nombre d’heures de fonctionnement Lh retenu et la charge dynamique équivalente P.
Conclusion : en ajoutant aux forces provenant du poids du rotor celles provenant du balourd initial du rotor et du balourd causé par l’excentricité de la fixation du disque d’accouplement sur l’arbre, la capacité nominale requise C du palier, déterminée pour les forces statiques, augmente d’environ 67 %. La présence du balourd sur le nomogramme 1.
le rotor lui impose une charge supplémentaire d’une ampleur qui ne peut être négligée pour les données retenues. La charge des forces tournantes peut entraîner une surcharge et la destruction du palier. Elle raccourcira également sa durée de vie sans défaillance.
Nouveau calcul de la durée de vie des roulements sous l’effet de forces supplémentaires
Concernant d. Détermination de la nouvelle durée de fonctionnement Lh du palier retenu, soumis aux forces tournantes supplémentaires F2 et F3, pour la capacité dynamique nominale C supposée du palier.
Dans le nomogramme 2, les droites 1 et 2 déterminent les mêmes valeurs que dans le nomogramme 1.
La droite 3 est tracée différemment. L’objectif de la procédure est de déterminer une durée de vie nominale L différente, mesurée en millions de tours, pour le palier choisi soumis à des efforts tournants en plus des efforts statiques. La droite relie la valeur totale de toutes les forces, statiques et tournantes, ramenée à une valeur moyenne Fm = 4376 N, à la capacité de charge nominale C déterminée précédemment pour la seule charge statique. Cette droite détermine sur l’axe L la nouvelle valeur du nombre de tours, exprimée en millions de tours. La droite 4, qui relie cette nouvelle valeur sur l’axe L à la vitesse de rotation en tours par minute supposée précédemment, détermine sur l’axe Lh le nouveau nombre d’heures de fonctionnement du palier sans défaillance.
Nomogramme 2. Détermination de la nouvelle durée de fonctionnement Lh du palier retenu, soumis aux forces tournantes supplémentaires F2 et F3, pour la capacité dynamique nominale C supposée du palier.
Conclusion : du fait de l’apparition de forces tournantes supplémentaires dues au balourd du rotor et de l’élément d’accouplement, la durée de fonctionnement sans défaillance a diminué par rapport au nomogramme 2.
10 000 heures, avec un rotor équilibré et un accouplement rééquilibré après son installation sur l’arbre, à environ 2 000 heures avec un rotor et un accouplement présentant un balourd.
Choisir un palier de plus grande taille, dont la capacité de charge dynamique nominale C lui permettra de supporter la charge due au balourd, ne résout pas le problème. Cela augmentera les dimensions de la plupart des composants tournants. Cela accroîtra également leur balourd initial, lié aux précisions de fabrication actuellement pratiquées. Une solution efficace est l’équilibrage.
