Elk constructie-element van een roterende machine dat deelneemt aan de draaibeweging, heeft een symmetrieas. Deze as is ook de centrale hoofdtraagheidsas van de massa, en de massa-afwijkingsmomenten in de richting ervan zijn nul. Als het element daadwerkelijk om deze as draait, dwingt zijn massa de beweging niet af en wekt het dus geen krachten op in zijn steunpunten.
Mechanische systemen die samenwerken in een draaiende beweging, worden meestal zo ontworpen dat hun symmetrieassen na de assemblage ook samenvallen. Door vorm- en assemblagefouten valt de werkelijke gemeenschappelijke rotatieas van het systeem meestal niet samen met een gekozen as van een onderdeel. Daarom ligt het gemeenschappelijke zwaartepunt van alle componenten van een roterend systeem niet op de werkelijke rotatieas. Sommige componenten kunnen ook scheef zijn bevestigd, dat wil zeggen met een hoekfout. Hierdoor ligt de hoofdtraagheidsas van de hele rotor scheef ten opzichte van de werkelijke rotatieas. De positie van de werkelijke as wordt vastgelegd door het lager (dus door de koppelingen). Deze onderlinge afwijking van de twee assen (de centrale hoofdtraagheidsas en de werkelijke rotatieas) is de bron van de excitatie en van de extra krachten die optreden op de steunpunten van de rotor. Deze excitatie is specifiek in die zin dat de amplitude van de excitatiekracht toeneemt naarmate de stijve rotor sneller draait en een constante richting heeft ten opzichte van de rotor.
In een roterende machine is het onderdeel dat de rotor bijeenhoudt en in de rotatieas houdt, rechtstreeks blootgesteld aan krachten door onbalans. Dat zijn de lagers die op de tappen van de rotor zijn gemonteerd. In die lagers komen de roterende traagheidskrachten samen met de reacties van de steunpunten.
Het volgende voorbeeld toont het destructieve effect van krachten door onbalans op de levensduur van wentellagers. Deze invloed is duidelijk omdat kogellagers onder meer mechanisch bestand zijn tegen externe en zijdelingse krachten. Dergelijke zijdelingse krachten, die we traagheidskrachten noemen, ontstaan wanneer de massa van de rotor wordt versneld. Ze werken die versnelling tegen. Omdat er bij een roterende beweging middelpuntzoekende versnelling optreedt, werken de traagheidskrachten middelpuntvliedend en hangen hun amplitudes af van het toerental.
De rotor en de koppelingsschijf modelleren
Om het effect van onbalans op de levensduur en de lagerkeuze te analyseren, is het volgende model van de verbinding tussen rotor en koppelingshelft gebruikt. De rotor wordt symmetrisch ondersteund ten opzichte van zijn zwaartepunt. Om de analyse te vereenvoudigen is aangenomen dat het rotormateriaal overal homogeen is. De gemeten slag van de rotortap kan het gevolg zijn van askromming of onnauwkeurige bewerking.
Invoergegevens:
M1 = 500 kg (massa van de rotor), M2 = 60 kg (massa van de koppelingsschijf), d1 = 34.984 mm (diameter van de rotoras), D1 = 600 mm (diameter van de buitenste rotoras), D2 = 3,5H7 mm (diameter van de boring in de koppelingsschijf), W = 24 μm (gemeten radiale slag op de rotoras), Lh = 10.000 uur (het aantal storingsvrije bedrijfsuren dat de ontwerper van de rotorinstallatie heeft aangenomen), n = 2.900 rpm (rotortoerental).
Voor de rotor ligt een actueel balanceerprotocol voor waaruit blijkt dat hij is gebalanceerd in klasse G40. Voor de koppelingsschijf ligt een actueel balanceerprotocol voor waaruit blijkt dat ze is gebalanceerd in klasse G1.
Aangehouden werkwijze:
a) De onbalanswaarden worden bepaald zonder gebruik van een balanceermachine.
b) Om de waarde van de roterende traagheidskrachten te schatten, wordt met een wegmeter de slingering W gemeten. Daarnaast wordt de diameter van de as d1 gemeten en de diameter van het gat in de schijf D2 uit de tabel afgelezen.
c) Omdat de waarde van de onbalans niet met een balanceermachine kan worden gemeten, wordt uitgegaan van de samenstelling van de krachten door onbalans onder de minst gunstige omstandigheden. Die omstandigheden komen overeen met het optellen van vectoren met dezelfde richting (in werkelijkheid kunnen de krachten in verschillende richtingen worden opgeteld).
Er werd uitgegaan van het lager B, dat met grotere zijdelingse krachten wordt belast, als het te analyseren lager.
De aanname dat een rotor met een massa M1 = 500 kg een beginonbalans van G40 heeft, betekent een verschuiving e1 van zijn zwaartepunt c1 met de hieronder bepaalde waarde.
¹ M. Malec: Dynamic balancing of rotors in theory and practice. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
De onbalanswaarde bepalen
Voor de bepaling van de onbalanswaarde wordt het volgende verband gebruikt:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Waarbij: – de onbalans van de rotor is, – de balanceerkwaliteitsklasse, – het toerental, – de roterende massa¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
De excentriciteit wordt bepaald 𝑚𝑚$ aan de hand van de waarde van het correctiegewicht waarmee de rotor zou worden gebalanceerd als dat op straal zou zijn aangebracht.
Verband (1) na omvorming voor onbalans G40 en toerental n = 2900 obr/min heeft de vorm:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Hierbij is : een massa gecentreerd in een punt, op een straal , die een onbalans geeft.
Gebruik de relatie waarin de statische momenten van de volledige rotor op de excentriciteit gelijk zijn aan die van het correctiegewicht voor het balanceren op de diameter:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
Hieruit volgt:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
” [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 “
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE “
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Bijgevolg is de radiale slag die op het cilindrische oppervlak moet worden gemeten:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 De componenten van de krachten die op het lager inwerken zijn:
a) F1, constant in waarde en richting, als gevolg van het gewicht van de rotor en de koppeling,
b) F2 roterend, het gevolg van de onbalans van de rotor,
c) F3 roterend, het gevolg van de onbalans van de koppelingsschijf door de excentriciteit van de bevestiging aan de rotoras (opmerking: ervan uitgaande dat de koppelingsschijf was gebalanceerd en dat de restonbalans een kleine waarde heeft die buiten beschouwing kan blijven).
De drie componenten van de kracht op het lager
De zwaartekracht op de rotor is altijd naar beneden gericht. Traagheidskrachten die door onbalans ontstaan, draaien mee met de rotor. Daardoor wordt het lager belast met een kracht die zowel in grootte als in richting varieert. De waarde varieert van een minimum, dat is, tot een maximum, dat is. De richting van de resulterende kracht varieert binnen het bereik van . Hierbij is aangenomen dat de koppeling op de as is bevestigd in de meest ongunstige onderlinge stand van de speling en bijgevolg van de traagheidskrachten, omdat de hoekpositie van de koppeling en de onbalans van de rotor niet worden gestuurd.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹” −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Bepaling van de krachten die op lager B inwerken.
𝐹𝐹” = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔”𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a “
Speling in de montage van de koppelingsschijf
Vóór de berekening van de kracht gaat een dimensionale analyse van het kinematische paar, dat wordt gevormd door de as en de koppelingsschijf.
In de praktijk blijkt dat componenten die op rotorassen zijn gemonteerd een bron van extra onbalans zijn en daarmee ook een bron van extra trillingen van de aggregaten. Het gedrag van de koppelingsschijf nadat die op de rotoras is gemonteerd, moet eerst worden geanalyseerd.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9.81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3.14 ∙2900 30 e “
0,131f = 3017 𝑁𝑁 “!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
De koppelingsschijf kan willekeurig op de rotor worden bevestigd, maar binnen de speling, waarbij die speling onder een willekeurige hoek in het vlak loodrecht op de rotatieas kan worden opgenomen. Volgens de regels gaan we uit van het ongunstigste geval: de slag van de as en de maximale afwijking van de uitvoering van de boring tellen op in dezelfde richting.
De rotor draait in de vlakken waarin de lagers zijn gemonteerd ten opzichte van de werkelijke rotatieas 1. De geometrische as van het uiteinde van de rotoras is as 3. De centrale hoofdtraagheidsas van de koppelingsschijf, samen met het zwaartepunt c2, is as 2.
Excentriciteit van de ligging van het zwaartepunt van de koppelingsschijf als gevolg van de dwarse slag van de as:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentriciteit als gevolg van de uitvoering van de as onder de nominale waarde en van de boring met de bovenste afwijking:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Totale excentriciteit van de montage van de koppelingsschijf op de rotoras:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentriciteit als gevolg van de excentrische bevestiging van de koppelingsschijf:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Kracht door de excentriciteit van de koppelingsschijf
De kracht F3 wordt bepaald met de volgende formule:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔” = 𝑀𝑀”𝑒𝑒’0&𝜔𝜔” = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3.14 ∙2900 De werkelijke kracht op lager B, met behulp van de momentenvergelijking ten opzichte van bijvoorbeeld punt A in figuur 1, is:
𝐹𝐹/ = 215,5 𝑁𝑁 Wanneer de onbalans van de rotor na het productieproces en vóór het balanceren overeenkomt met balanceerkwaliteitsklasse G40, hebben we bij een gelijkmatige verdeling van de lagerbelasting door het rotorgewicht de volgende waarden voor de krachtcomponenten die lager B belasten:
Tabel 1. Krachten die op lager B inwerken bij n = 2900 o br/min en een initiële onbalans G40.
= 179,6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Bij het kiezen van lagers volgens de catalogus, bijvoorbeeld van SKF, moet onder roterende belastingsomstandigheden de waarde van de belastingsvariatiefactor worden bepaald en opgenomen in de vergelijking voor het bepalen van de gemiddelde belasting:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/)
Het lager kiezen: de coëfficiënt fm
Om deze coëfficiënt te bepalen, zet u de functie r𝑓𝑓& van de variatie van de parameter uit als functie van de waarden van de roterende krachten F2 en F3 in Grafiek 1².
Voer een hulpberekening uit om de waarde van de coëfficiënt fm te bepalen:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Voor de berekende waarde afgelezen uit grafiek 1 van de catalogus: fm = 0.77.
² Catalogus van rollagers r𝑓𝑓& 𝐹 Voor deze waarde fm is de gemiddelde lagerbelasting volgens de catalogus:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Aannames voor de vereiste levensduur van het lager
Aannames over de vereiste levensduur van het lager:
a) de krachten die op het lager inwerken hebben een radiale richting, waaruit de equivalente dynamische belasting volgt: P = Fm,
b) er wordt aangenomen dat het lager gedurende uren moet werken.
Met het diagram voor de berekening van lagers kunt u het effect van de waarde van de zijdelingse krachten controleren:
c) er wordt uitgegaan van een gewenste levensduur van het lager Lh = 10.000 uur
d) de verkorting van de bedrijfsduur van het gebruikte lager als gevolg van bijkomende roterende krachten.
Wat punt c. betreft, kiest u een lager door de nominale dynamische draagkracht C te bepalen.
Enkele opmerkingen over het opstellen van nomogrammen.
Hoe de nomogrammen zijn opgebouwd
Nomogrammen zijn ontwikkeld in een tijd dat rotorontwerpers met eenvoudige rekenhulpmiddelen werkten. Hun huidige betekenis ligt vooral in de goede visualisatie van het selectieproces voor lagers.
Het woord nomogrammen staat hier in het meervoud, omdat de verticale uitlijning van de assen P[N] en C[N] ten opzichte van de andere assen enigszins kan verschillen op grafieken van verschillende lagerfabrikanten. Dit hangt af van de behaalde prestaties van het lager. De assen Lh[h], L[mln rpm.] en n[rpm] zijn door de kinematica van de rotor eenduidig met elkaar verbonden. Een voorbeeld: in 100 bedrijfsuren bij 2500 rpm maakt de rotor 100•2500•60=15 miljoen omwentelingen. Deze drie assen staan zo ten opzichte van elkaar dat elke rechte lijn die de gekozen toerentallen verbindt met het aangenomen aantal storingsvrije bedrijfsuren van het lager, op de L[mln rpm]-as het juiste resultaat van bovenstaande vermenigvuldiging geeft.
De positie en de schalen van de andere assen zijn afgeleid van de prestaties van de lagers van de betreffende fabrikant. Ze zijn zo geplaatst en over hun lengte zo uitgerekt dat een tweede rechte lijn, die door het eerder bepaalde punt op de L[million rpm]-as loopt, de waarde van de totale zijdelingse krachten in het lager, weergegeven op de P-as, verbindt met de bepaalde waarde van C, die de keuze van de lagermaat bepaalt³.
Door een logaritmische schaal te hanteren, worden de aslengten korter.
In nomogram 1 is rechte lijn 1 een hulplijn die, voor het aangenomen aantal bedrijfsuren Lh en bij ³ Roller bearing catalog het opgegeven rotortoerental n=2900 rpm, op de L-as het getal bepaalt dat het aantal omwentelingen in miljoenen over de aangenomen tijd weergeeft. Rechte lijn 2 snijdt het bepaalde punt op de L-as en loopt tegelijk door het punt dat de statische belasting van het lager (2452 N) aangeeft. Aan het andere uiteinde bepaalt deze lijn de vereiste nominale statische draagkracht van het lager C. Hier bedraagt die ongeveer 32 kN. Dit is de draagkracht voor het statische geval.
Rechte lijn 3, die door het met lijn 1 bepaalde punt op de L-as loopt en door het punt dat de totale statische en dynamische belasting Fm = P aangeeft, uitgedrukt in vergelijking (2) en bedragend 4376 N, bepaalt de nieuwe vereiste nominale dynamische draagkracht van het lager. Hier bedraagt die ongeveer 54 kN.
Nomogram 1. Selectie van de nominale dynamische draagkracht C van het lager voor het aangenomen aantal bedrijfsuren Lh en de equivalente dynamische belasting P.
Conclusie: wanneer we bij de krachten door het gewicht van de rotor ook de krachten optellen die voortkomen uit de initiële onbalans van de rotor en uit de onbalans door de excentriciteit van de bevestiging van de koppelingsschijf op de as, neemt de vereiste nominale draagkracht C van het lager, bepaald voor statische krachten, met ongeveer 67 % toe. De aanwezigheid van onbalans op het Nomogram 1.
rotor belast het lager extra, in een mate die voor de aangenomen gegevens niet te verwaarlozen is. De belasting door roterende krachten kan leiden tot overbelasting en vernieling van het lager. Ook verkort ze de storingsvrije levensduur ervan.
De levensduur van het lager opnieuw berekenen onder extra krachten
Ad d. Bepaling van de nieuwe bedrijfsduur Lh voor het toegepaste lager, belast met extra roterende krachten F2 en F3 bij de aangenomen nominale dynamische draagkracht C van het lager.
In nomogram 2 bepalen de rechten 1 en 2 dezelfde waarden als in nomogram 1.
Lijn 3 wordt anders getrokken. Het doel van de procedure is een andere nominale levensduur L te bepalen, uitgedrukt in miljoenen omwentelingen van het gekozen lager dat naast statische krachten ook door roterende krachten wordt belast. De lijn verbindt de totale waarde van alle krachten, statisch en roterend, omgerekend naar een gemiddelde waarde van Fm = 4376 N, met de eerder bepaalde nominale draagkracht C, die enkel voor statische belasting geldt. Deze rechte lijn bepaalt op de L-as de nieuwe waarde van het aantal omwentelingen, geteld in miljoenen omwentelingen. Rechte lijn 4, die deze nieuwe waarde op de L-as verbindt met het eerder aangenomen toerental per minuut, bepaalt op de Lh-as het nieuwe aantal uren storingsvrije werking van het lager.
Nomogram 2. Bepaling van de nieuwe bedrijfsduur Lh voor het toegepaste lager, belast met extra roterende krachten F2 en F3 bij de aangenomen nominale dynamische draagkracht C van het lager.
Conclusie: door de extra roterende krachten als gevolg van de onbalans van de rotor en van het koppelingselement is de storingsvrije bedrijfsduur gedaald ten opzichte van Nomogram 2.
10.000 uur, met de rotor gebalanceerd en de koppeling opnieuw gebalanceerd na montage op de as, tot ongeveer 2000 uur met een ongebalanceerde rotor en een ongebalanceerde koppeling.
Een groter lager kiezen waarvan de nominale dynamische draagkracht C de belasting door onbalans kan opvangen, lost het probleem niet op. Het vergroot de afmetingen van de meeste roterende onderdelen. Daardoor neemt ook hun initiële onbalans toe, die het gevolg is van de huidige nauwkeurigheden in de productie. Balanceren is een doeltreffende oplossing.
