Qualquer elemento estrutural de uma máquina rotativa que participe no movimento rotativo tem um eixo de simetria. Este eixo é também o eixo central principal de inércia de massa, e os momentos de desvio de massa na sua direção são nulos. Se o elemento rodar efetivamente em torno dele, a sua massa não provoca excitação do movimento e, portanto, não induz forças nos seus apoios.
Os sistemas mecânicos que cooperam em movimento rotativo são normalmente concebidos de modo a que os respetivos eixos de simetria também coincidam depois de montados. Em resultado de erros de forma e de montagem, o eixo de rotação comum real do sistema, na maioria das vezes, não coincide com um eixo selecionado de um elemento componente. Por conseguinte, o centro de gravidade comum de todos os componentes de um sistema rotativo não se situa sobre o eixo de rotação real. Alguns componentes podem também ficar fixados de forma oblíqua, ou seja, com um erro angular. Assim, o eixo principal de inércia de massa de todo o rotor fica inclinado em relação ao eixo de rotação real. A posição do eixo real é definida pela chumaceira (isto é, pelas ligações). Este alinhamento dos dois eixos (o eixo central principal de inércia e o eixo de rotação real), um em relação ao outro, é a origem da excitação do movimento e das forças adicionais que surgem nos pontos de apoio do rotor. Esta excitação tem uma particularidade: a amplitude da força excitadora aumenta com o aumento da rotação do rotor rígido e tem uma direção constante relativamente ao rotor.
Numa máquina rotativa, o componente que liga o rotor e o mantém na estrutura do eixo de rotação está diretamente exposto às forças resultantes do desequilíbrio. Trata-se das chumaceiras montadas nos munhões do rotor. Nelas, as forças de inércia rotativas encontram as reações dos apoios.
O exemplo seguinte mostra o efeito destrutivo das forças provocadas pelo desequilíbrio na vida útil dos rolamentos. Esta influência é evidente porque os rolamentos de esferas são mecanicamente resistentes, entre outras, às forças externas e laterais. Essas forças laterais, a que chamamos forças de inércia, surgem quando a massa do rotor é acelerada. Opõem-se a essa aceleração. Como no movimento rotativo existe aceleração centrípeta, as forças de inércia atuam de forma centrífuga e as suas amplitudes dependem da velocidade de rotação.
Modelação do rotor e do disco da embraiagem
Para analisar o efeito do desequilíbrio na durabilidade e na seleção da chumaceira, adotou-se o seguinte modelo da ligação entre o rotor e o semiacoplamento. O rotor está apoiado simetricamente em relação ao seu centro de gravidade. Para simplificar a análise, assumiu-se que o material do rotor é homogéneo em toda a sua extensão. O batimento medido do munhão do rotor pode dever-se à curvatura do veio ou a uma maquinagem pouco rigorosa.
Dados de entrada:
M1 = 500 kg (massa do rotor), M2 = 60 kg (massa do disco da embraiagem), d1 = 34.984 mm (diâmetro do veio do rotor), D1 = 600 mm (diâmetro do veio exterior do rotor), D2 = 3,5H7 mm (diâmetro do furo feito no disco da embraiagem), W = 24 μm (batimento radial medido no veio do rotor), Lh = 10 000 horas (número de horas de funcionamento sem avarias assumido pelo projetista do dispositivo do rotor), n = 2900 rpm (velocidade do rotor).
O rotor dispõe de um protocolo de equilibragem atual que indica que foi equilibrado na classe G40. O disco da embraiagem dispõe de um protocolo de equilibragem atual que indica que foi equilibrado na classe G1.
Procedimento adotado:
a) Os valores do desequilíbrio serão determinados sem recurso a uma equilibradora.
b) Para estimar o valor das forças de inércia rotativas, será utilizado um medidor de deslocamento para medir o desvio radial W, bem como para medir o diâmetro do veio d1 e ler na tabela o diâmetro do furo do disco D2.
c) Não sendo possível medir o valor do desequilíbrio com uma máquina de equilibragem, admite-se a composição das forças resultantes do desequilíbrio nas condições menos favoráveis. Tais condições correspondem à soma de vetores com o mesmo sentido (na realidade, as forças podem somar-se em sentidos diferentes).
Assumiu-se que seria analisada a chumaceira B, que está sujeita a forças laterais mais elevadas.
O pressuposto de que um rotor com uma massa de M1 = 500 kg tem um desequilíbrio inicial de G40 significa o deslocamento e1 do seu centro de gravidade c1 pelo valor determinado a seguir.
¹ M. Malec: Equilibragem dinâmica de rotores na teoria e na prática. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Determinação do valor do desequilíbrio
Para a determinação do valor do desequilíbrio, utiliza-se a seguinte relação:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Onde: – é o desequilíbrio do rotor, – classe de precisão de equilibragem, – velocidade de rotação, – massa em rotação¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
A excentricidade será determinada 𝑚𝑚$ utilizando o valor da massa corretiva que equilibraria o rotor se estivesse assente no raio .
A relação (1), após transformação para o desequilíbrio G40 e a rotação n = 2900 obr/min, assume a forma:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Onde: é uma massa centrada num ponto, assente num raio , que dá origem a um desequilíbrio .
Utilize a relação de igualdade dos momentos estáticos de todo o rotor sobre a excentricidade e da massa de correção de equilibragem assente no diâmetro:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
A partir daqui:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219,6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
« [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 »
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3,14 ∙600 ∙2900 = 219,6 𝑔𝑔, %!
NE «
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Daqui resulta o batimento radial a medir na superfície cilíndrica:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 As forças componentes que atuam na chumaceira são:
a) F1 constante em valor e direção, resultante do peso do rotor e do acoplamento,
b) F2 rotativa, resultante do desequilíbrio do rotor,
c) F3 rotativa, resultante do desequilíbrio do disco da embraiagem provocado pela excentricidade da sua fixação ao veio do rotor (nota: admite-se que o disco da embraiagem foi equilibrado e que o seu desequilíbrio residual tem um valor reduzido, que pode ser ignorado).
As três forças componentes na chumaceira
A força da gravidade sobre o rotor está sempre dirigida para baixo. As forças de inércia causadas pelo desequilíbrio rodam com o rotor. Por conseguinte, a chumaceira é solicitada por uma força variável em valor e em direção. O valor varia entre um mínimo, que é, e um máximo, que é A direção da ação resultante é variável no intervalo de . Assumiu-se aqui que o acoplamento estava fixado no veio na disposição relativa mais desfavorável das folgas e, consequentemente, das forças de inércia, devido à ausência de controlo da posição angular do acoplamento e do desequilíbrio do rotor.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Determinação das forças que atuam na chumaceira B.
𝐹𝐹« = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔»𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a »
Folga na montagem do disco da embraiagem
O cálculo da força será precedido de uma análise dimensional do par cinemático que é constituído pelo veio e pelo disco da embraiagem.
A prática mostra que os componentes montados nos veios dos rotores são uma fonte de desequilíbrio adicional e, consequentemente, de vibração adicional dos conjuntos. Deve analisar-se, numa primeira fase, o comportamento do disco da embraiagem depois de montado no veio do rotor.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9.81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3.14 ∙2900 30 e "
0,131f = 3017 𝑁𝑁 "!,!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
O disco da embraiagem pode ser fixado ao rotor de forma arbitrária, mas dentro da respetiva folga, sendo que essa folga pode ficar desfeita em qualquer ângulo aleatório no plano perpendicular ao eixo de rotação. De acordo com as regras, assume-se o pior caso: o batimento do veio e o desvio máximo da execução do furo somam-se no mesmo sentido.
Nos planos em que as chumaceiras estão montadas, o rotor roda em relação ao eixo de rotação real 1. O eixo geométrico da extremidade do veio do rotor é o eixo 3. O eixo central principal de inércia do disco de acoplamento, juntamente com o centro de gravidade c2, é o eixo 2.
Excentricidade da posição do centro de gravidade do disco da embraiagem resultante do batimento transversal do veio:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidade resultante do fabrico do veio abaixo do valor nominal e do furo no desvio superior:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidade total da montagem do disco da embraiagem no veio do rotor:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidade resultante da fixação descentrada do disco da embraiagem:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Força resultante da excentricidade do disco da embraiagem
A força F3 é determinada pela relação:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔« = 𝑀𝑀»𝑒𝑒’0&𝜔𝜔» = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3.14 ∙2900 A força real na chumaceira B, utilizando a equação da soma dos momentos relativamente, por exemplo, ao ponto A indicado na figura 1, é:
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 No caso em que, após o processo de fabrico do rotor e antes da equilibragem, o seu desequilíbrio corresponde à classe de precisão de equilibragem G40, com distribuição uniforme da carga da chumaceira devida ao peso do rotor, obtêm-se os seguintes valores das forças componentes que solicitam a chumaceira B:
Tabela 1. Forças que atuam na chumaceira B a n = 2900 o br/min e com desequilíbrio inicial G40.
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Na seleção de chumaceiras segundo o catálogo, por exemplo da SKF, em condições de carga rotativa, deve determinar-se o valor do fator de variação da carga e incluí-lo na equação para determinar a carga média:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/)
Seleção da chumaceira: o coeficiente fm
Para determinar este coeficiente, represente graficamente a função r𝑓𝑓& de variação do parâmetro em função dos valores das forças rotativas F2 e F3, gráfico 1².
Para determinar o valor do coeficiente fm, efetue um cálculo auxiliar:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Para o valor calculado, lido no gráfico 1 do catálogo: fm = 0,77.
² Catálogo de rolamentos de rolos r𝑓𝑓& 𝐹 Para este valor de fm, a carga média da chumaceira, de acordo com o catálogo, é:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Pressupostos para a vida útil dos rolamentos exigida
Definição de pressupostos relativamente à vida útil dos rolamentos necessária:
a) as forças que atuam sobre a chumaceira têm direção radial, pelo que a carga dinâmica equivalente é: P = Fm,
b) considera-se que a chumaceira deve funcionar durante horas.
Com o gráfico para o cálculo de chumaceiras, pode verificar o efeito do valor das forças laterais:
c) considera-se que a chumaceira deve funcionar durante Lh = 10 000 horas
d) a redução do tempo de funcionamento da chumaceira utilizada devido às forças rotativas adicionais.
Relativamente à alínea c., selecione uma chumaceira determinando a capacidade de carga dinâmica nominal C.
Algumas notas sobre a construção de nomogramas.
Como são construídos os nomogramas
Os nomogramas foram desenvolvidos numa altura em que os projetistas de rotores utilizavam ferramentas de cálculo simples. A sua importância atual reside sobretudo na boa visualização do processo de seleção de chumaceiras.
A palavra nomogramas é usada no plural porque o alinhamento vertical dos eixos P[N] e C[N] em relação aos restantes eixos pode estar ligeiramente deslocado em gráficos elaborados por diferentes fabricantes de chumaceiras. Depende do desempenho obtido pela chumaceira. Os eixos Lh[h], L[mln rpm.] e n[rpm] estão relacionados entre si de forma inequívoca pela cinemática do rotor. Por exemplo: em 100 horas de funcionamento a 2500 rpm, o rotor efetuará 100•2500•60=15 milhões de rotações. Estes três eixos estão dispostos uns em relação aos outros de tal forma que qualquer reta que ligue as rotações selecionadas ao número de horas de funcionamento da chumaceira sem falhas assumido dará o resultado correto da multiplicação acima no eixo L[mln rpm].
A posição e as escalas dos restantes eixos resultam do desempenho das chumaceiras do respetivo fabricante. Estão localizados e dimensionados, ao longo do seu comprimento, de tal modo que outra reta, passando pelo ponto anteriormente determinado no eixo L[milhões rpm], liga o valor das forças laterais totais na chumaceira, indicado no eixo P, ao valor determinado de C, que define a escolha da dimensão da chumaceira³.
A adoção de uma escala logarítmica reduz o comprimento dos eixos.
No nomograma 1, a reta 1 é uma linha auxiliar que, para o número de horas de funcionamento Lh assumido e ³ catálogo de rolamentos de rolos, com a velocidade do rotor especificada n=2900 rpm, determina no eixo L o número que define as rotações contadas em milhões no tempo assumido. A reta 2, que interseta o ponto determinado no eixo L e passa simultaneamente pelo ponto que define a carga estática da chumaceira (2452 N), determina na outra extremidade a capacidade de carga estática nominal necessária da chumaceira C. Neste caso, é de cerca de 32 kN. Esta é a capacidade de carga para o caso estático.
A reta 3, que passa pelo ponto determinado pela reta 1 no eixo L e pelo ponto que determina a carga estática e dinâmica total Fm = P, indicada na equação (2) e com o valor de 4376 N, determina a nova capacidade de carga dinâmica nominal necessária da chumaceira. Neste caso, ronda os 54 kN.
Nomograma 1. Seleção da capacidade de carga dinâmica nominal C para o número de horas de funcionamento Lh assumido e a carga dinâmica equivalente P.
Conclusão: somando às forças provenientes do peso do rotor as forças provenientes do desequilíbrio inicial do rotor e do desequilíbrio causado pela excentricidade da fixação do disco do acoplamento ao veio, a capacidade nominal necessária da chumaceira C, determinada para forças estáticas, aumentou cerca de 67 %. A presença de desequilíbrio no nomograma 1.
o rotor sujeita-o a uma carga adicional, num grau que não pode ser ignorado para os dados aceites. A carga das forças rotativas pode resultar na sobrecarga e na destruição da chumaceira. Reduzirá também a sua vida útil sem falhas.
Recálculo da vida útil dos rolamentos com as forças adicionais
Quanto ao ponto d. Determinação do novo tempo de funcionamento Lh para a chumaceira aplicada, sujeita às forças rotativas adicionais F2 e F3, com a capacidade de carga dinâmica nominal C assumida da chumaceira.
No nomograma 2, as retas 1 e 2 determinam os mesmos valores que no monograma 1.
A reta 3 é traçada de forma diferente. O objetivo do procedimento é determinar uma vida nominal L diferente, medida em milhões de rotações, da chumaceira selecionada quando sujeita a forças rotativas para além das forças estáticas. A reta liga o valor total de todas as forças, estáticas e rotativas, convertido num valor médio de Fm = 4376 N, à capacidade de carga nominal C, anteriormente determinada apenas para carga estática. Esta reta determina no eixo L o novo valor do número de rotações, contadas em milhões de rotações. A reta 4, que liga este novo valor no eixo L às rotações por minuto anteriormente assumidas, determina no eixo Lh o novo número de horas de funcionamento da chumaceira sem falhas.
Nomograma 2. Determinação do novo tempo de funcionamento Lh para a chumaceira aplicada, sujeita às forças rotativas adicionais F2 e F3, com a capacidade de carga dinâmica nominal C assumida da chumaceira.
Conclusão: Em resultado do aparecimento de forças rotativas adicionais provenientes do desequilíbrio do rotor e do elemento de acoplamento, o tempo de funcionamento sem falhas diminuiu em relação ao Nomograma 2.
10 000 horas, com o rotor equilibrado e o acoplamento reequilibrado após a sua instalação no veio, até cerca de 2000 horas com o rotor e o acoplamento em desequilíbrio.
Selecionar uma chumaceira de maiores dimensões, cuja capacidade de carga dinâmica nominal C lhe permita suportar a carga provocada pelo desequilíbrio, não resolve o problema. Aumentará as dimensões da maioria dos componentes rotativos. Isto aumentará também o seu desequilíbrio inicial, que decorre dos rigores de fabrico atualmente praticados. Uma solução eficaz é a equilibragem.
