Każdy element konstrukcyjny maszyny wirującej, który uczestniczy w ruchu obrotowym, ma oś symetrii. Oś ta jest jednocześnie główną centralną osią bezwładności mas, a momenty dewiacyjne mas w jej kierunku są równe zero. Jeżeli element faktycznie obraca się wokół tej osi, jego masa nie wymusza ruchu, a tym samym nie wywołuje sił w jego podporach.
Układy mechaniczne współpracujące w ruchu obrotowym projektuje się zazwyczaj tak, aby ich osie symetrii po zmontowaniu również się pokrywały. W wyniku błędów kształtu i montażu rzeczywista wspólna oś obrotu układu najczęściej nie pokrywa się z wybraną osią elementu składowego. Dlatego wspólny środek ciężkości wszystkich elementów wirującego układu nie leży na rzeczywistej osi obrotu. Niektóre elementy mogą być także zamontowane skośnie, czyli z błędem kątowym. W efekcie główna oś bezwładności masy całego wirnika leży skośnie względem rzeczywistej osi obrotu. Położenie rzeczywistej osi wyznacza łożyskowanie (czyli więzy). To wzajemne ułożenie obu osi (głównej centralnej osi bezwładności i rzeczywistej osi obrotu) jest źródłem wymuszenia ruchu oraz dodatkowych sił występujących w punktach podparcia wirnika. Wymuszenie to ma tę specyfikę, że amplituda siły wymuszającej rośnie wraz ze wzrostem prędkości obrotowej sztywnego wirnika i ma stały kierunek względem wirnika.
W maszynie wirującej element, który stanowi połączenie wirnika i utrzymuje go w osi obrotu konstrukcji, jest bezpośrednio narażony na siły pochodzące od niewyważenia. Są to łożyska osadzone na czopach wirnika. Wirujące siły bezwładności spotykają się w nich z reakcjami podpór.
Poniższy przykład pokazuje destrukcyjny wpływ sił od niewyważenia na trwałość łożysk tocznych. Wpływ ten jest widoczny, ponieważ łożyska kulkowe są mechanicznie odporne m.in. na siły zewnętrzne i boczne. Takie siły boczne, które nazywamy siłami bezwładności, powstają, gdy masa wirnika jest przyspieszana. Przeciwdziałają one temu przyspieszeniu. Ponieważ w ruchu obrotowym występuje przyspieszenie dośrodkowe, siły bezwładności działają odśrodkowo, a ich amplitudy zależą od prędkości obrotowej.
Modelowanie wirnika i tarczy sprzęgłowej
Aby przeanalizować wpływ niewyważenia na trwałość i dobór łożysk, przyjęto następujący model połączenia wirnika ze sprzęgłem. Wirnik jest podparty symetrycznie względem swojego środka ciężkości. Dla uproszczenia analizy założono, że materiał wirnika jest jednorodny w całej objętości. Zmierzone bicie czopa wirnika może wynikać z zakrzywienia wału lub niedokładnej obróbki skrawaniem.
Dane wejściowe:
M1 = 500 kg (masa wirnika), M2 = 60 kg (masa tarczy sprzęgła), d1 = 34 984 mm (średnica wałka wirnika), D1 = 600 mm (średnica zewnętrznego wałka wirnika), D2 = 3,5H7 mm (średnica otworu wykonanego w tarczy sprzęgła), W = 24 μm (zmierzone bicie promieniowe na wałku wirnika), Lh = 10 000 godzin (liczba godzin bezawaryjnej pracy założona przez konstruktora urządzenia wirnikowego), n = 2 900 rpm (prędkość obrotowa wirnika).
Wirnik ma aktualny protokół wyważania potwierdzający, że został wyważony w klasie G40. Tarcza sprzęgła ma aktualny protokół wyważania potwierdzający, że została wyważona w klasie G1.
Przyjęta procedura:
a) Wartości niewyważenia zostaną wyznaczone bez użycia wyważarki.
b) Aby oszacować wartość wirujących sił bezwładności, za pomocą czujnika przemieszczenia zostanie zmierzone bicie W, a także średnica wału d1; średnica otworu w tarczy D2 zostanie odczytana z tabeli.
c) Ponieważ nie można zmierzyć wartości niewyważenia za pomocą wyważarki, przyjmie się złożenie sił pochodzących od niewyważenia w warunkach najmniej korzystnych. Warunki takie odpowiadają dodawaniu wektorów o tym samym kierunku (w rzeczywistości siły mogą się dodawać w różnych kierunkach).
Przyjęto, że analizie zostanie poddane łożysko B, które jest obciążone większymi siłami poprzecznymi.
Założenie, że wirnik o masie M1 = 500 kg ma początkowe niewyważenie odpowiadające klasie G40, oznacza przesunięcie e1 jego środka ciężkości c1 o wartość wyznaczoną poniżej.
¹ M. Malec: Dynamic balancing of rotors in theory and practice. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Wyznaczanie wartości niewyważenia
Do wyznaczenia wartości niewyważenia stosuje się zależność:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Gdzie: – to niewyważenie wirnika, – klasa dokładności wyważenia, – prędkość obrotowa, – masa wirująca¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
Mimośrodowość zostanie wyznaczona 𝑚𝑚$ na podstawie wartości ciężarka korekcyjnego, który wyważyłby wirnik, gdyby był osadzony na promieniu .
Zależność (1) po przekształceniu dla niewyważenia G40 i prędkości obrotowej n = 2900 obr/min przyjmuje postać:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Gdzie: to masa skupiona w punkcie, osadzona na promieniu , dająca niewyważenie .
Należy skorzystać z zależności wynikającej z równości momentów statycznych całego wirnika względem mimośrodowości oraz ciężarka korekcyjnego osadzonego na danej średnicy:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
Stąd:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
” [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 "
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE "
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Stąd bicie promieniowe, które należy zmierzyć na powierzchni walcowej:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Siły składowe działające na łożysko wynoszą:
a) F1 o stałej wartości i stałym kierunku, wynikająca z ciężaru wirnika i sprzęgła,
b) F2 wirująca, wynikająca z niewyważenia wirnika,
c) F3 – siła wirująca, wynikająca z niewyważenia tarczy sprzęgła spowodowanego mimośrodowością jej osadzenia na wale wirnika (uwaga: zakłada się, że tarcza sprzęgła była wyważona, a jej niewyważenie resztkowe ma niewielką wartość, którą można pominąć).
Trzy składowe siły działające na łożysko
Siła ciężkości działająca na wirnik jest zawsze skierowana w dół. Siły bezwładności wywołane niewyważeniem wirują wraz z wirnikiem. Dlatego łożysko jest obciążone siłą zmienną co do wartości i kierunku. Wartość zmienia się od minimum, które wynosi, do maksimum, które wynosi. Kierunek siły wypadkowej zmienia się w zakresie. Przyjęto tu, że sprzęgło zostało osadzone na wale przy najbardziej niekorzystnym wzajemnym ułożeniu luzów, a w konsekwencji sił bezwładności, z uwagi na brak kontroli położenia kątowego sprzęgła i niewyważenia wirnika.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹” −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Wyznaczanie sił działających na łożysko B.
𝐹𝐹” = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔”𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a "
Luz w zamocowaniu tarczy sprzęgłowej
Obliczenie siły zostanie poprzedzone analizą wymiarową pary kinematycznej, jaką tworzą wał i tarcza sprzęgła.
Praktyka pokazuje, że elementy montowane na wałach wirników są źródłem dodatkowego niewyważenia, a tym samym dodatkowych drgań agregatów. Zachowanie tarczy sprzęgła po jej zamontowaniu na wale wirnika należy wstępnie przeanalizować.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9,81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3,14 ∙2900 30 e "
0,131f = 3017 𝑁𝑁 "!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
Tarcza sprzęgła może być zamocowana na wirniku dowolnie, ale w granicach luzu, przy czym luz ten może się wybrać pod dowolnym losowym kątem w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Zgodnie z przyjętymi zasadami zakładamy przypadek najbardziej niekorzystny: bicie wału i maksymalne odchylenie wykonania otworu sumują się w tym samym kierunku.
Wirnik w płaszczyznach, w których osadzone są łożyska, obraca się względem rzeczywistej osi obrotu 1. Geometryczną osią końca wału wirnika jest oś 3. Główną centralną osią bezwładności tarczy sprzęgła, wraz ze środkiem ciężkości c2, jest oś 2.
Mimośrodowość położenia środka ciężkości tarczy sprzęgła wynikająca z bicia poprzecznego wału:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Mimośrodowość wynikająca z wykonania wału poniżej wartości nominalnej, a otworu przy górnym odchyłku:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35 025 −34 984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20,5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Całkowita mimośrodowość zamocowania tarczy sprzęgłowej na wale wirnika:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32,5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Mimośrodowość wynikająca z niecentrycznego osadzenia tarczy sprzęgłowej:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Siła wynikająca z mimośrodowości tarczy sprzęgłowej
Siłę F3 wyznacza się z zależności:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔” = 𝑀𝑀”𝑒𝑒’0&𝜔𝜔” = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3,14 ∙2900 Rzeczywista siła działająca na łożysko B, wyznaczona z równania sumy momentów względem np. punktu A pokazanego na rysunku 1, wynosi:
𝐹𝐹/ = 215,5 𝑁𝑁 W przypadku, gdy po procesie wytwarzania wirnika i przed jego wyważeniem jego niewyważenie odpowiada klasie dokładności wyważania G40, przy równomiernym rozkładzie obciążenia łożyska od ciężaru wirnika otrzymujemy następujące wartości sił składowych obciążających łożysko B:
Tabela 1. Siły działające na łożysko B przy n = 2900 o br/min i początkowym niewyważeniu G40.
= 179,6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Przy doborze łożysk według katalogu, np. SKF, w warunkach obciążenia wirującego należy określić wartość współczynnika zmienności obciążenia i uwzględnić ją w równaniu służącym do wyznaczenia obciążenia średniego:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/)
Dobór łożyska: współczynnik fm
Aby wyznaczyć ten współczynnik, należy sporządzić wykres funkcji zmienności r𝑓𝑓& parametru w zależności od wartości sił wirujących F2 i F3, Wykres 1².
Aby wyznaczyć wartość współczynnika fm, należy wykonać obliczenie pomocnicze:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Dla obliczonej wartości odczytanej z wykresu 1 katalogu: fm = 0,77.
² Katalog łożysk wałeczkowych r𝑓𝑓& 𝐹 Dla tej wartości fm średnie obciążenie łożyska, zgodnie z katalogiem, wynosi:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Założenia dotyczące wymaganej trwałości łożyska
Przyjęcie założeń dotyczących wymaganej trwałości łożyska:
a) siły działające na łożysko mają kierunek promieniowy, skąd równoważne obciążenie dynamiczne wynosi: P = Fm,
b) przyjmuje się, że łożysko powinno pracować przez godzin.
Korzystając z wykresu do obliczania łożysk, można sprawdzić wpływ wartości sił poprzecznych:
c) przyjmuje się, że łożysko powinno pracować Lh = 10 000 godzin
d) skrócenie czasu pracy zastosowanego łożyska w wyniku dodatkowych sił wirujących.
W odniesieniu do punktu c. należy dobrać łożysko, wyznaczając nominalną obciążalność dynamiczną C.
Kilka uwag o konstruowaniu nomogramów.
Sposób konstruowania nomogramów
Nomogramy opracowano w czasach, gdy konstruktorzy wirników korzystali z prostych narzędzi obliczeniowych. Ich obecne znaczenie polega głównie na dobrej wizualizacji procesu doboru łożysk.
Słowo „nomogramy” występuje w liczbie mnogiej, ponieważ pionowe ustawienie osi P[N] i C[N] względem pozostałych osi może być nieznacznie przesunięte na wykresach opracowanych przez różnych producentów łożysk. Zależy to od uzyskanych parametrów pracy łożyska. Osie Lh[h], L[mln rpm.] i n[rpm] są jednoznacznie ze sobą powiązane kinematyką wirnika. Na przykład: w ciągu 100 godzin pracy przy 2500 rpm wirnik wykona 100•2500•60 = 15 milionów obrotów. Te trzy osie są ułożone względem siebie tak, że każda prosta łącząca wybraną prędkość obrotową z założoną liczbą godzin bezawaryjnej pracy łożyska da na osi L[mln rpm] prawidłowy wynik powyższego mnożenia.
Położenie i skale pozostałych osi wynikają z parametrów pracy łożysk danego producenta. Są one tak rozmieszczone i rozciągnięte wzdłuż swojej długości, że kolejna prosta, przechodząca przez wcześniej wyznaczony punkt na osi L[mln rpm], połączy wartość sumy sił poprzecznych w łożysku, zaznaczoną na osi P, z wyznaczoną wartością C, która decyduje o wyborze rozmiaru łożyska³.
Przyjęcie skali logarytmicznej skraca długości osi.
Na nomogramie 1 prosta 1 jest linią pomocniczą, która dla założonej liczby godzin pracy Lh i przy ³ katalogu łożysk wałeczkowych oraz podanej prędkości obrotowej wirnika n = 2900 rpm wyznacza na osi L liczbę, która określa liczbę obrotów w milionach w założonym czasie. Prosta 2, przecinająca wyznaczony punkt na osi L i jednocześnie przechodząca przez punkt określający obciążenie statyczne łożyska (2452 N), wyznacza na drugim końcu wymaganą nominalną statyczną obciążalność łożyska C. W tym przypadku wynosi ona około 32 kN. Jest to obciążalność dla przypadku statycznego.
Prosta 3, przechodząca przez punkt wyznaczony przez prostą 1 na osi L oraz przez punkt określający całkowite obciążenie statyczne i dynamiczne Fm = P, zapisane w równaniu (2) i wynoszące 4376 N, wyznacza nową wymaganą nominalną obciążalność dynamiczną łożyska. W tym przypadku wynosi ona około 54 kN.
Nomogram 1. Dobór nominalnej nośności dynamicznej C dla założonej liczby godzin pracy Lh i równoważnego obciążenia dynamicznego P.
Wniosek: po uwzględnieniu, oprócz sił pochodzących od ciężaru wirnika, także sił wynikających z początkowego niewyważenia wirnika oraz niewyważenia spowodowanego mimośrodowością osadzenia tarczy sprzęgła na wale, wymagana nominalna obciążalność łożyska C, wyznaczona dla sił statycznych, wzrosła o około 67%. Obecność niewyważenia pokazano na nomogramie 1.
wirnik w stopniu, którego nie można pominąć dla przyjętych danych, dodatkowo obciąża łożysko. Obciążenie siłami wirującymi może prowadzić do przeciążenia i zniszczenia łożyska. Skróci też jego bezawaryjny okres pracy.
Ponowne obliczenie trwałości łożyska przy dodatkowych siłach
Ad d. Wyznaczenie nowego czasu pracy Lh dla zastosowanego łożyska obciążonego dodatkowymi siłami wirującymi F2 i F3 przy założonej nominalnej nośności dynamicznej łożyska C.
Na nomogramie 2 proste 1 i 2 wyznaczają te same wartości co na nomogramie 1.
Prostą 3 wyznacza się inaczej. Celem procedury jest określenie innej trwałości nominalnej L, wyrażonej w milionach obrotów wybranego łożyska, obciążonego oprócz sił statycznych także siłami wirującymi. Prosta łączy łączną wartość wszystkich sił, statycznych i wirujących, przeliczoną na wartość średnią Fm = 4376 N, z wyznaczoną wcześniej wyłącznie dla obciążenia statycznego nośnością nominalną C. Ta prosta wyznacza na osi L nową wartość liczby obrotów, wyrażoną w milionach obrotów. Prosta 4, łącząca tę nową wartość na osi L z przyjętą wcześniej liczbą obrotów na minutę, wyznacza na osi Lh nową liczbę godzin bezawaryjnej pracy łożyska.
Nomogram 2. Wyznaczenie nowego czasu pracy Lh dla zastosowanego łożyska obciążonego dodatkowymi siłami wirującymi F2 i F3 przy założonej nominalnej nośności dynamicznej łożyska C.
Wniosek: w wyniku wystąpienia dodatkowych sił wirujących pochodzących od niewyważenia wirnika i elementu sprzęgającego bezawaryjny czas pracy uległ skróceniu, co wynika z nomogramu 2.
10 000 godzin przy wyważonym wirniku i sprzęgle wyważonym ponownie po zamontowaniu na wale, do około 2000 godzin przy niewyważonym wirniku i niewyważonym sprzęgle.
Dobór łożyska o większych rozmiarach, którego nominalna obciążalność dynamiczna C pozwoli przenieść obciążenie pochodzące od niewyważenia, nie rozwiązuje problemu. Zwiększy ono wymiary większości elementów wirujących. Zwiększy to również ich początkowe niewyważenie, które wynika z dokładności stosowanych obecnie w produkcji. Skutecznym rozwiązaniem jest wyważanie.
