旋转机械的任何参与旋转运动的结构元件都有一条对称轴。这条轴也是主质量中心惯性轴，其方向上的质量偏差矩为零。如果该元件实际上绕它旋转，其质量不会强制运动，因此不会在其支点处引起力。
参与旋转运动的机械系统通常设计为：其对称轴在装配后应该重合。由于形状误差和装配偏差，系统的实际公转轴往往与某个部件的选定轴不重合。因此，旋转系统所有部件的公共重心不在实际转轴上。某些部件的安装可能也存在角度偏差，即角度误差。由此，整个转子的主惯性轴相对于实际转轴呈倾斜状态。实际转轴的位置由轴承（即约束）确定。这两个轴（主中心惯性轴与实际转轴）之间的对齐，是转子支点处产生强制运动和附加力的根源。这种强制的特点是：随着刚性转子转速的增加，强制力的幅值随之增大，且相对于转子的方向保持不变。
在旋转机械中，作为转子连接并将其保持在轴线结构上的部件直接受到不平衡力的作用。这些是安装在转子枢轴上的轴承。在其中，旋转惯性力与支点反力相遇。
以下示例说明不平衡力对滚动轴承寿命的破坏性影响。这种影响很明显，因为球轴承在机械上对外力和侧向力具有抗性。这些侧向力（我们称之为惯性力）在转子质量加速时产生。它们抵抗这种加速。由于旋转运动中存在向心加速度，惯性力沿向心方向作用，其幅值取决于转速。
转子与离合器盘建模
为了分析不平衡对耐久性和轴承选择的影响，采用了以下转子-半联轴器连接模型。转子相对于其重心对称支撑。为简化分析，假设转子材料均匀。转子轴颈的测量跳动可能由于轴弯曲或加工不精确而产生。
输入数据：
M1 = 500 kg（转子质量），M2 = 60 kg（联轴器盘质量），d1 = 34.984 mm（转子轴直径），D1 = 600 mm（转子轴外径），D2 = 3.5H7 mm（联轴器盘孔直径），W = 24 μm（转子轴上测得的径向跳动），Lh = 10,000 小时（转子装置设计者假定的无故障运行时数），n = 2,900 转/分（转子速度）。
转子具有现行平衡协议，表明其已按 G40 等级进行平衡。离合器盘具有现行平衡协议，表明其已按 G1 等级进行平衡。
接受的程序：
a) 不平衡值将在不使用平衡机的情况下确定。
b) 为了估计旋转惯性力的值，将使用路程计测量跳动 W，以及测量轴直径 d1 并从表中读取盘孔直径 D2。
c) 由于无法用动平衡机测量不平衡值，将假设在最不利条件下不平衡力的合成。这样的条件对应于具有相同方向的矢量相加（实际上，力可以以不同方向相加）。
假设对承受较高横向力的 B 轴承进行分析。
假设质量为 M1 = 500 kg 的转子初始不平衡为 G40，意味着其重心 c1 的偏心距 e1 按下面确定的值移动。
¹ M. Malec：转子动平衡理论与实践。MM Publications。Bydgoszcz 2022。
确定不平衡值
为确定不平衡值，使用以下关系式：
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ 其中：– 是转子不平衡，– 平衡精度等级，– 转速，– 旋转质量¹。
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*."
偏心距将使用修正重量的值来确定 𝑚𝑚$，该修正重量如果坐在半径处将平衡转子。
关系式 (1) 在不平衡 G40 和转速 n = 2900 obr/min 时的变换形式为：
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ 其中：是坐在半径处、产生不平衡的质量中心。
使用整个转子的静力矩相等与偏心距和坐在直径上的平衡修正重量的关系：
"%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
从此处：
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
“ [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 ””
"%!
𝐺𝐺 𝐺P ' Q𝑁 && e!
"%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE "
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0.131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 因此，在圆柱面上测量的径向跳动为：
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0.262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 作用在轴承上的分力为：
a) F1 在数值和方向上保持恒定，由转子和联轴器的重量产生，
b) F2 旋转，源自转子的不平衡，
c) F3 旋转，由联轴器盘的不平衡引起，该不平衡是由其与转子轴的偏心安装造成的（注：假设联轴器盘已动平衡，其残余不平衡值很小，可以忽略）。
轴承上的三个分力
重力始终作用于转子的下方。不平衡引起的惯性力随转子一起旋转。因此，轴承受到的是幅值和方向都变化的力。幅值从最小值变化到最大值。合力作用方向在范围内变化。这里假设联轴器在间隙最不利相对排列的位置固定在轴上，因此惯性力由于无法控制联轴器和转子不平衡的角度位置而产生。
𝐹𝐹'0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹\/.
𝐹𝐹'0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹\/.
∓𝜑𝜑 轴承 B 所受作用力的确定。
𝐹𝐹“ = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔”𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a ”
离合器盘安装间隙
力的计算将以轴和离合器盘这一运动副的尺寸分析为前提。
实践表明，安装在转子轴上的部件是额外不平衡的根源，因此是机组额外振动的根源。联轴器盘安装在转子轴上后的行为应首先进行分析。
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9.81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3.14 ∙2900 30 e "
0.131f = 3017 𝑁𝑁 "!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
联轴器盘可以在转子上任意固定，但在其间隙范围内，而间隙可以在垂直于转轴的平面内以任何随机角度清除。根据规则，我们假设最坏情况：轴的跳动和孔执行的最大偏差在同一方向上相加。
转子在安装轴承的平面内相对于实际转轴 1 旋转。转子轴端的几何轴是轴 3。联轴器盘的主中心惯性轴及其重心 c2 是轴 2。
由轴的横向跳动产生的离合器盘重心位置的偏心距：
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0.024 2 = 0.012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
由于轴加工低于公称值且孔在上偏差而产生的偏心距：
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0.0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
离合器盘在转子轴上安装的总偏心度：
𝑒𝑒+,' = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0.012 + 0.0205 = 0.0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
离合器盘偏心安装导致的偏心度：
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,' = 60 ∙10& ∙0.0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
离合器盘偏心产生的力
力 F3 由以下关系式确定：
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔“ = 𝑀𝑀”𝑒𝑒'0&𝜔𝜔” = 6 ∙102 ∙0.0325 ∙d3.14 ∙2900 使用关于例如图 1 所示的点 A 的力矩和方程，轴承 B 上的实际力为：
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 在转子制造过程后、动平衡前，其不平衡对应于 G40 动平衡精度等级，且轴承载荷均匀分布的情况下，我们得到以下加载轴承 B 的分力值：
表 1. 在 n = 2900 obr/min 和 G40 初始不平衡时作用在轴承 B 上的力。
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 转/分 F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215.5 N 根据目录（例如 SKF）选择轴承时，在旋转载荷条件下，应确定载荷变化系数并将其包含在确定平均载荷的方程中：
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹\/)
选择轴承：fm 系数
为确定该系数，绘制 r𝑓𝑓& 函数，作为旋转力 F2 和 F3 值的参数变化函数，见图表 1²。
为确定 fm 系数的值，执行辅助计算：
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0.43 𝑓 对于计算值，从目录的图表 1 中读取：fm = 0.77。
² 滚动轴承目录 r𝑓𝑓& 𝐹 对于该 fm 值，根据目录，平均轴承负荷为：
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0.77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
所需轴承寿命的假设
对所需轴承寿命的假设：
a) 作用在轴承上的力具有径向方向，等效动负荷为：P = Fm，
b) 假设轴承应运行若干小时。
使用轴承计算图表，您可以检查横向力值的影响：
c) 假设轴承应运行 Lh = 10,000 小时
d) 由于附加旋转力导致的所用轴承运行时间的缩短。
关于 c.，通过找到额定动承载能力 C 来选择轴承。
关于列线图构造的若干说明。
列线图的构造方法
诺模图是在转子设计人员使用简单计算工具时开发的。其当前的重要意义主要在于能够很好地可视化轴承选择过程。
之所以用复数形式“诺模图”，是因为轴的竖直对齐：P[N] 与 C[N] 相对于其他轴的位置在不同轴承制造商的图表上可能略有偏移。这取决于轴承的性能。轴 Lh[h]、L[百万转数] 与 n[转/分] 由转子运动学唯一确定。例如：在 2500 转/分的条件下运行 100 小时，转子将完成 100×2500×60 = 1500 万转。这三条轴相对于彼此的排列方式使得任何连接选定转数与假定轴承无故障运行时数的直线都能在 L[百万转数] 轴上给出正确的乘法结果。
其他轴的位置和刻度来自相应制造商轴承的性能。它们的位置和沿其长度的拉伸方式使得另一条直线段通过之前在 L[百万转数] 轴上确定的点，将轴承中显示在 P 轴上的总侧向力值与确定轴承尺寸选择的 C 值相连。
采用对数刻度可缩短轴长。
在诺模图 1 中，直线 1 是辅助线，对于假定的运行时数 Lh 和指定的转子速度 n = 2900 转/分，确定 L 轴上的数值，该数值确定假定时间内以百万转数计的转数。直线 2 与 L 轴上确定的点相交，同时通过确定轴承静载荷的点（2452 N），在另一端确定所需的额定静载荷 C。此处约为 32 kN。这是静载情况下的载荷容量。
直线 3 通过直线 1 在 L 轴上确定的点，以及通过确定总静载荷和动载荷 Fm = P 的点，根据方程 (2) 等于 4376 N，确定轴承所需的新额定动载荷。此处约为 54 kN。
诺模图 1. 根据假定的运行小时数 Lh 和等效动负荷 P 选择额定动承载能力 C
结论：将来自转子重量的力、来自转子初始不平衡的力以及由联轴器盘与轴偏心安装引起的不平衡力相加，仅根据静力确定的所需额定轴承容量 C 增加了约 67%。不平衡在诺模图 1 上的存在。
转子对其施加的额外载荷程度不容忽视。旋转力的载荷可能导致轴承过载和破坏。它也会缩短其无故障寿命。
在附加力作用下重新计算轴承寿命
附 d. 在假定额定动承载能力 C 的条件下，受到附加旋转力 F2 & F3 作用的轴承的新运行时间 Lh 的确定
在诺模图 2 中，直线 1 和 2 确定与诺模图 1 中相同的值。
第 3 条线的绘制方式不同。该程序的目的是确定一个不同的额定寿命 L，以百万转数计，对应于所选轴承在旋转力和静力共同作用下的载荷。该线连接所有力的总值：静力和旋转力，转换为平均值 Fm = 4376 N，与之前仅根据静载荷确定的额定动载荷 C 相连。这条直线在 L 轴上确定的新值为百万转数计的转数。第 4 条直线将 L 轴上的这个新值与之前假定的每分钟转数相连，在 Lh 轴上确定轴承无故障运行的新时数。
诺模图 2. 在假定额定动承载能力 C 的条件下，受到附加旋转力 F2 & F3 作用的轴承的新运行时间 Lh 的确定
结论：由于转子和联轴器元件不平衡产生的附加旋转力，无故障运行时间从诺模图 2 中的时间下降。
从转子平衡、联轴器在轴上安装后重新平衡时的 10,000 小时，降低到转子和联轴器不平衡时的约 2,000 小时。
选择一个更大尺寸的轴承，其额定动载荷 C 足以承载不平衡产生的载荷，并不能解决问题。这将增加大多数旋转部件的尺寸。这也会增加它们的初始不平衡，这是由于当前制造中使用的精度。有效的解决方案是动平衡。
