Jedes Konstruktionselement einer rotierenden Maschine, das an der Drehbewegung beteiligt ist, besitzt eine Symmetrieachse. Diese Achse ist zugleich die zentrale Hauptträgheitsachse der Masse, und die Deviationsmomente der Masse in ihrer Richtung sind null. Dreht sich das Element tatsächlich um diese Achse, regt seine Masse keine Bewegung an und erzeugt somit keine Kräfte in seinen Lagerstellen.
Mechanische Systeme, die in einer Drehbewegung zusammenwirken, werden in der Regel so ausgelegt, dass auch ihre Symmetrieachsen im montierten Zustand zusammenfallen sollten. Aufgrund von Form- und Montagefehlern stimmt die tatsächliche gemeinsame Drehachse des Systems meist nicht mit einer ausgewählten Achse eines Bauteils überein. Daher liegt der gemeinsame Schwerpunkt aller Komponenten eines rotierenden Systems nicht auf der tatsächlichen Drehachse. Einige Komponenten können zudem schief montiert sein, das heißt mit einem Winkelfehler. Dadurch liegt die Hauptträgheitsachse der Masse des gesamten Rotors schief zur tatsächlichen Drehachse. Die Lage der tatsächlichen Achse wird durch die Lagerung (d. h. durch Bindungen) festgelegt. Diese gegenseitige Ausrichtung der beiden Achsen (der zentralen Hauptträgheitsachse und der tatsächlichen Drehachse) ist die Ursache der Bewegungsanregung und der zusätzlichen Kräfte, die an den Stützstellen des Rotors auftreten. Diese Anregung ist insofern besonders, als die Amplitude der Erregerkraft mit zunehmender Drehzahl des starren Rotors ansteigt und relativ zum Rotor eine konstante Richtung hat.
In einer rotierenden Maschine sind diejenigen Bauteile unmittelbar den Kräften aus der Unwucht ausgesetzt, die den Rotor verbinden und ihn in der Drehachse halten. Das sind die Lager, die auf den Zapfen des Rotors montiert sind. In ihnen treffen die rotierenden Massenkräfte auf die Reaktionskräfte der Stirnflächen.
Das folgende Beispiel zeigt die zerstörerische Wirkung von Kräften aus Unwucht auf die Lebensdauer von Wälzlagern. Dieser Einfluss ist deutlich, weil Kugellager unter anderem gegenüber äußeren Kräften und Querkräften mechanisch empfindlich sind. Solche Querkräfte, die wir als Trägheitskräfte bezeichnen, entstehen, wenn die Masse des Rotors beschleunigt wird. Sie wirken dieser Beschleunigung entgegen. Da bei einer Drehbewegung eine Zentripetalbeschleunigung vorliegt, wirken die Trägheitskräfte zentrifugal, und ihre Amplituden hängen von der Drehzahl ab.
Modellierung von Rotor und Kupplungsscheibe
Um den Einfluss der Unwucht auf die Lebensdauer und die Lagerauswahl zu analysieren, wurde das folgende Modell der Verbindung von Rotor und Kupplungshälfte zugrunde gelegt. Der Rotor ist symmetrisch zu seinem Schwerpunkt gelagert. Zur Vereinfachung der Analyse wurde angenommen, dass das Rotormaterial durchgehend homogen ist. Der gemessene Rundlauf des Rotor-Lagerzapfens kann auf eine Wellenkrümmung oder eine ungenaue Bearbeitung zurückzuführen sein.
Eingangsdaten:
M1 = 500 kg (Masse des Rotors), M2 = 60 kg (Masse der Kupplungsscheibe), d1 = 34.984 mm (Durchmesser der Rotorwelle), D1 = 600 mm (Durchmesser der äußeren Rotorwelle), D2 = 3,5H7 mm (Durchmesser der Bohrung in der Kupplungsscheibe), W = 24 μm (gemessener radialer Rundlauf an der Rotorwelle), Lh = 10.000 Stunden (vom Konstrukteur der Rotoranlage angenommene Anzahl an Stunden störungsfreien Betriebs), n = 2.900 rpm (Rotordrehzahl).
Für den Rotor liegt ein aktuelles Auswuchtprotokoll vor, das bestätigt, dass er in der Gütestufe G40 ausgewuchtet wurde. Für die Kupplungsscheibe liegt ein aktuelles Auswuchtprotokoll vor, das bestätigt, dass sie in der Gütestufe G1 ausgewuchtet wurde.
Übliches Verfahren:
a) Die Unwuchtwerte werden ohne Einsatz einer Auswuchtmaschine bestimmt.
b) Zur Abschätzung der rotierenden Massenkräfte wird mit einem Wegmesser der Rundlauffehler W gemessen sowie der Wellendurchmesser d1 bestimmt und der Durchmesser der Bohrung in der Scheibe D2 der Tabelle entnommen.
c) Da sich der Wert der Unwucht nicht mit einer Auswuchtmaschine messen lässt, wird die Zusammensetzung der Kräfte aus Unwucht unter den ungünstigsten Bedingungen angenommen. Diese Bedingungen entsprechen der Addition von Vektoren mit gleicher Richtung (in der Realität können sich die Kräfte in unterschiedlichen Richtungen addieren).
Es wurde angenommen, dass Lager B, das mit höheren Querkräften belastet ist, analysiert wird.
Die Annahme, dass ein Rotor mit einer Masse von M1 = 500 kg eine Anfangsunwucht der Gütestufe G40 aufweist, bedeutet eine Verschiebung e1 seines Schwerpunkts c1 um den unten ermittelten Wert.
¹ M. Malec: Dynamic balancing of rotors in theory and practice. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Bestimmung des Unwuchtwerts
Zur Bestimmung des Unwuchtwerts wird folgende Beziehung verwendet:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Dabei gilt: – Unwucht des Rotors, – Wuchtgüteklasse, – Drehzahl, – rotierende Masse¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
Die Exzentrizität wird 𝑚𝑚$ anhand des Wertes des Korrekturgewichts bestimmt, das den Rotor auswuchten würde, wenn es auf dem Radius angebracht wäre.
Beziehung (1) nimmt nach Umformung für die Unwucht G40 und die Drehzahl n = 2900 obr/min die folgende Form an:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Dabei gilt: ist eine in einem Punkt konzentrierte Masse auf dem Radius , die eine Unwucht erzeugt.
Nutzen Sie die Beziehung der Gleichheit der statischen Momente des gesamten Rotors auf der Exzentrizität und des auf dem Durchmesser sitzenden Ausgleichsgewichts:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
Daraus folgt:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
„ [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 “
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE “
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Daraus ergibt sich der auf der Zylinderfläche zu messende Rundlauf:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Die auf das Lager wirkenden Teilkräfte sind:
a) F1, konstant in Betrag und Richtung, resultierend aus dem Gewicht von Rotor und Kupplung,
b) F2 rotierend, resultierend aus der Unwucht des Rotors,
c) F3 rotierend, resultierend aus der Unwucht der Kupplungsscheibe, die durch die Exzentrizität ihrer Befestigung an der Rotorwelle verursacht wird (Hinweis: Es wird angenommen, dass die Kupplungsscheibe ausgewuchtet war und ihre Restunwucht einen kleinen Wert hat, der vernachlässigt werden kann).
Die drei Kraftkomponenten am Lager
Die Gewichtskraft des Rotors ist stets nach unten gerichtet. Durch Unwucht verursachte Trägheitskräfte rotieren mit dem Rotor. Daher wird das Lager mit einer nach Betrag und Richtung veränderlichen Kraft belastet. Der Betrag schwankt zwischen einem Minimum, das beträgt, und einem Maximum, das beträgt. Die Richtung der resultierenden Wirkung ist im Bereich von veränderlich. Hier wurde angenommen, dass die Kupplung bei der ungünstigsten relativen Anordnung der Spiele und damit der Trägheitskräfte auf der Welle befestigt wurde, da die Winkellage der Kupplung und die Rotorunwucht nicht kontrolliert werden.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Bestimmung der auf das Lager B wirkenden Kräfte.
𝐹𝐹„ = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔“𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a “
Spiel in der Montage der Kupplungsscheibe
Der Berechnung der Kraft geht eine Maßanalyse der kinematischen Paarung aus Welle und Kupplungsscheibe voraus.
Die Praxis zeigt, dass auf Rotorwellen montierte Bauteile eine Quelle zusätzlicher Unwucht und damit zusätzlicher Schwingungen der Aggregate sind. Das Verhalten der Kupplungsscheibe nach ihrer Montage auf der Rotorwelle sollte zunächst analysiert werden.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9,81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3,14 ∙2900 30 e “
0,131f = 3017 𝑁𝑁 “!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
Die Kupplungsscheibe kann innerhalb ihres Spiels beliebig auf dem Rotor befestigt werden, wobei das Spiel in der Ebene senkrecht zur Drehachse unter jedem beliebigen Winkel ausgenutzt werden kann. Den Regeln entsprechend gehen wir vom ungünstigsten Fall aus: Der Rundlauf der Welle und die maximale Abweichung der Bohrungsausführung addieren sich in derselben Richtung.
Der Rotor dreht sich in den Ebenen, in denen die Lager montiert sind, relativ zur tatsächlichen Drehachse 1. Die geometrische Achse des Rotorwellenendes ist die Achse 3. Die zentrale Hauptträgheitsachse der Kupplungsscheibe mit dem Schwerpunkt c2 ist die Achse 2.
Exzentrizität der Schwerpunktlage der Kupplungsscheibe infolge des Planlaufs der Welle:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Exzentrizität infolge einer Fertigung der Welle unterhalb des Nennmaßes und der Bohrung im oberen Abmaß:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Gesamtexzentrizität der Montage der Kupplungsscheibe auf der Rotorwelle:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Exzentrizität infolge außermittiger Befestigung der Kupplungsscheibe:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Kraft aus der Exzentrizität der Kupplungsscheibe
Die Kraft F3 wird durch folgende Beziehung bestimmt:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔„ = 𝑀𝑀“𝑒𝑒’0&𝜔𝜔“ = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3.14 ∙2900 Die tatsächliche Kraft auf das Lager B ergibt sich aus der Momentengleichung, beispielsweise bezogen auf den in Abbildung 1 dargestellten Punkt A, zu:
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 Entspricht die Unwucht nach dem Fertigungsprozess des Rotors und vor dem Auswuchten der Auswuchtgüteklasse G40, ergeben sich bei gleichmäßiger Verteilung der Lagerlast aus dem Rotorgewicht folgende Werte der Teilkräfte, die das Lager B belasten:
Tabelle 1. Auf das Lager B wirkende Kräfte bei n = 2900 o br/min und anfänglicher Unwucht G40.
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Bei der Auswahl von Lagern nach Katalog, z. B. von SKF, ist unter rotierenden Lastbedingungen der Wert des Lastschwankungsfaktors zu bestimmen und in die Gleichung zur Bestimmung der mittleren Belastung einzubeziehen:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/)
Lagerauswahl: der Koeffizient fm
Zur Bestimmung dieses Koeffizienten tragen Sie die Funktion r𝑓𝑓& der Variation des Parameters in Abhängigkeit von den Werten der rotierenden Kräfte F2 und F3 in Diagramm 1² auf.
Um den Wert des Koeffizienten fm zu bestimmen, führen Sie eine Hilfsberechnung durch:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Für den berechneten Wert, abgelesen aus Diagramm 1 des Katalogs, gilt: fm = 0,77.
² Wälzlagerkatalog r𝑓𝑓& 𝐹 Für diesen Wert fm beträgt die mittlere Lagerbelastung laut Katalog:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Annahmen zur erforderlichen Lagerlebensdauer
Annahmen zur erforderlichen Lagerlebensdauer treffen:
a) Die auf das Lager wirkenden Kräfte haben eine radiale Richtung, sodass sich die äquivalente dynamische Lagerbelastung ergibt zu: P = Fm,
b) Es wird angenommen, dass das Lager Stunden betrieben werden soll.
Mithilfe des Diagramms zur Lagerberechnung können Sie die Auswirkung der Querkräfte prüfen:
c) Es wird angenommen, dass das Lager Lh = 10.000 Stunden betrieben werden soll
d) die Verkürzung der Betriebsdauer des verwendeten Lagers durch zusätzliche Rotationskräfte.
Zu c.: Wählen Sie ein Lager aus, indem Sie die dynamische Tragzahl C ermitteln.
Einige Hinweise zur Konstruktion von Nomogrammen.
Aufbau der Nomogramme
Nomogramme wurden entwickelt, als Rotorkonstrukteure einfache Berechnungswerkzeuge nutzten. Ihre heutige Bedeutung liegt vor allem in der guten Veranschaulichung des Lagerauswahlprozesses.
Das Wort Nomogramme steht im Plural, weil die vertikale Ausrichtung der Achsen P[N] und C[N] zu den übrigen Achsen bei Diagrammen verschiedener Lagerhersteller leicht verschoben sein kann. Sie hängt von der erzielten Lagerleistung ab. Die Achsen Lh[h], L[mln rpm.] und n[rpm] stehen über die Rotorkinematik eindeutig in Beziehung zueinander. Zum Beispiel: In 100 Betriebsstunden bei 2500 rpm macht der Rotor 100•2500•60=15 Millionen Umdrehungen. Diese drei Achsen sind so zueinander angeordnet, dass jede Gerade, die die gewählte Drehzahl mit der angenommenen Anzahl an Stunden des störungsfreien Betriebs des Lagers verbindet, auf der Achse L[mln rpm] das richtige Ergebnis der obigen Multiplikation liefert.
Lage und Skalen der übrigen Achsen ergeben sich aus der Leistung der Lager des jeweiligen Herstellers. Sie sind so angeordnet und entlang ihrer Länge so gedehnt, dass eine weitere Gerade durch den zuvor ermittelten Punkt auf der Achse L[million rpm] den auf der P-Achse dargestellten Gesamtwert der Querkräfte im Lager mit dem ermittelten Wert von C verbindet, der die Wahl der Lagergröße bestimmt³.
Eine logarithmische Skala verkürzt die Achsenlängen.
In Nomogramm 1 ist Gerade 1 eine Hilfsgerade, die für die angenommene Anzahl an Betriebsstunden Lh und bei ³ Wälzlagerkatalog der vorgegebenen Rotordrehzahl n=2900 rpm auf der L-Achse die Zahl bestimmt, die die in der angenommenen Zeit zurückgelegten Umdrehungen in Millionen angibt. Die Gerade 2, die den ermittelten Punkt auf der L-Achse schneidet und zugleich durch den Punkt verläuft, der die statische Belastung des Lagers (2452 N) bestimmt, liefert am anderen Ende die erforderliche nominelle statische Tragfähigkeit C des Lagers. Sie beträgt hier etwa 32 kN. Dies ist die Tragfähigkeit für den statischen Fall.
Gerade 3, die durch den von Gerade 1 auf der L-Achse bestimmten Punkt und durch den Punkt verläuft, der die in Gleichung (2) angegebene statische und dynamische Gesamtbelastung Fm = P von 4376 N bestimmt, liefert die neue erforderliche nominelle dynamische Tragfähigkeit des Lagers. Sie beträgt hier etwa 54 kN.
Nomogramm 1. Auswahl der dynamischen Tragzahl C des Lagers für die angenommene Betriebsstundenzahl Lh und die äquivalente dynamische Lagerbelastung P.
Fazit: Werden zu den Kräften aus dem Rotorgewicht die Kräfte aus der anfänglichen Unwucht des Rotors und der Unwucht durch die Exzentrizität der Befestigung der Kupplungsscheibe an der Welle hinzugerechnet, steigt die erforderliche nominelle Lagertragfähigkeit C, die für statische Kräfte ermittelt wurde, um etwa 67 %. Das Vorhandensein von Unwucht im Nomogramm 1.
Rotor belastet es zusätzlich in einem Maß, das für die angenommenen Daten nicht vernachlässigt werden kann. Die Belastung durch rotierende Kräfte kann zur Überlastung und Zerstörung des Lagers führen. Sie verkürzt außerdem seine ausfallfreie Lebensdauer.
Neuberechnung der Lagerlebensdauer unter zusätzlichen Kräften
Zu d. Bestimmung der neuen Betriebsdauer Lh für das eingesetzte Lager, das mit den zusätzlichen rotierenden Kräften F2 & F3 bei der angenommenen dynamischen Nenntragzahl C belastet wird.
In Nomogramm 2 bestimmen die Geraden 1 und 2 dieselben Werte wie in Nomogramm 1.
Gerade 3 wird anders gezogen. Ziel des Verfahrens ist es, eine andere nominelle Lebensdauer L in Millionen Umdrehungen für das ausgewählte Lager zu bestimmen, das zusätzlich zu statischen Kräften mit umlaufenden Kräften belastet wird. Die Gerade verbindet den Gesamtwert aller Kräfte, statisch und umlaufend, umgerechnet auf einen Mittelwert von Fm = 4376 N, mit der zuvor nur für die statische Belastung ermittelten nominellen Tragfähigkeit C. Diese Gerade bestimmt auf der L-Achse den neuen Wert der Anzahl der Umdrehungen in Millionen. Gerade 4, die diesen neuen Wert auf der L-Achse mit der zuvor angenommenen Drehzahl pro Minute verbindet, bestimmt auf der Lh-Achse die neue Anzahl an Stunden des störungsfreien Betriebs des Lagers.
Nomogramm 2. Bestimmung der neuen Betriebsdauer Lh für das eingesetzte Lager, das mit den zusätzlichen rotierenden Kräften F2 & F3 bei der angenommenen dynamischen Nenntragzahl C belastet wird.
Schlussfolgerung: Durch das Auftreten zusätzlicher rotierender Kräfte aus der Unwucht des Rotors und des Kupplungselements verringerte sich die ausfallfreie Betriebsdauer gegenüber Nomogramm 2.
10.000 Stunden bei ausgewuchtetem Rotor und nach dem Einbau auf der Welle erneut ausgewuchteter Kupplung auf etwa 2.000 Stunden bei unwuchtbehaftetem Rotor und unwuchtbehafteter Kupplung.
Die Wahl eines größeren Lagers, dessen nominelle dynamische Tragfähigkeit C die Belastung durch die Unwucht aufnehmen kann, löst das Problem nicht. Sie vergrößert die Abmessungen der meisten rotierenden Bauteile. Dadurch steigt auch deren anfängliche Unwucht, die auf die aktuell in der Fertigung erzielbaren Genauigkeiten zurückgeht. Eine wirksame Lösung ist das Auswuchten.
