Jedes Strukturelement einer rotierenden Maschine, das an der Rotationsbewegung beteiligt ist, verfügt über eine Symmetrieachse. Diese Achse ist auch die Hauptträgheitsachse der Masse, und die Massenabweichungsmomente in ihrer Richtung sind null. Wenn das Element tatsächlich um diese Achse rotiert, zwingt seine Masse die Bewegung nicht und induziert daher keine Kräfte in seinen Lagern.
Mechanische Systeme, deren Komponenten in Drehbewegung zusammenwirken, werden üblicherweise so ausgelegt, dass ihre Symmetrieachsen nach dem Zusammenbau zusammenfallen sollten. Aufgrund von Formabweichungen und Montagefehler fällt die tatsächliche gemeinsame Drehachse des Systems in den meisten Fällen nicht mit einer ausgewählten Achse eines Bauelements zusammen. Daher liegt der gemeinsame Schwerpunkt aller Komponenten des rotierenden Systems nicht auf der tatsächlichen Drehachse. Einige Komponenten können auch schräg angebracht sein, also mit einem Winkelfehler. Dadurch liegt die Hauptträgheitsachse des gesamten Rotors schräg zur tatsächlichen Drehachse. Die Position der tatsächlichen Achse wird durch das Lager (d. h. durch die Lagerungen) festgelegt. Diese Ausrichtung der beiden Achsen (die Hauptträgheitsachse und die tatsächliche Drehachse) zueinander ist die Quelle der Bewegungserregung und zusätzlicher Kräfte an den Lagerstellen des Rotors. Diese Erregung ist insofern charakteristisch, als die Amplitude der Erregungskraft mit zunehmender Drehzahl des starren Rotors ansteigt und eine konstante Richtung relativ zum Rotor behält.
In einer rotierenden Maschine ist die Komponente, die eine Verbindung für den Rotor darstellt und ihn in der Drehachsenstruktur hält, direkt den Kräften aus der Unwucht ausgesetzt. Dies sind die Lager, die auf den Lagerzapfen des Rotors montiert sind. In ihnen treffen die rotierenden Trägheitskräfte auf die Reaktionen der Lagerstellen.
Das folgende Beispiel zeigt die zerstörerische Wirkung von Unwuchtkräften auf die Lebensdauer von Wälzlagern. Dieser Einfluss wird deutlich, da Kugellager unter anderem mechanisch widerstandsfähig gegen äußere und seitliche Kräfte sind. Solche Seitenkräfte, die wir Trägheitskräfte nennen, entstehen, wenn die Rotormasse beschleunigt wird. Sie wirken dieser Beschleunigung entgegen. Da es bei der Drehbewegung eine Zentripetalbeschleunigung gibt, wirken die Trägheitskräfte zentrifugal, und ihre Amplituden hängen von der Drehzahl ab.
Modellierung des Rotors und der Kupplungsscheibe
Um die Auswirkung der Unwucht auf die Haltbarkeit und die Lagerauswahl zu analysieren, wurde das folgende Modell der Rotor-Halbkupplungsverbindung angenommen. Der Rotor wird symmetrisch bezüglich seines Schwerpunkts gelagert. Zur Vereinfachung der Analyse wurde angenommen, dass das Rotormaterial durchgehend homogen ist. Der gemessene Rundlauf des Rotorlagerzapfens kann auf eine Wellenkrümmung oder ungenaue Bearbeitung zurückzuführen sein.
Eingabedaten:
M1 = 500 kg (Masse des Rotors), M2 = 60 kg (Masse der Kupplungsscheibe), d1 = 34,984 mm (Durchmesser der Rotorwelle), D1 = 600 mm (Durchmesser der äußeren Rotorwelle), D2 = 3,5H7 mm (Durchmesser des in der Kupplungsscheibe gefertigten Lochs), W = 24 μm (gemessener radialer Rundlauf auf der Rotorwelle), Lh = 10.000 Stunden (die vom Konstrukteur des Rotorgeräts angenommene Anzahl der Betriebsstunden ohne Störungen), n = 2.900 U/min (Rotordrehzahl).
Der Rotor verfügt über ein aktuelles Ausgleichsprotokoll, das besagt, dass er in der Klasse G40 ausgewogen wurde. Die Kupplungsscheibe verfügt über ein aktuelles Ausgleichsprotokoll, das besagt, dass sie in der Klasse G1 ausgewogen wurde.
Angenommenes Verfahren:
a) Unwuchtwerte werden ohne Verwendung einer Ausgleichsmaschine bestimmt.
b) Um den Wert der rotierenden Trägheitskräfte zu schätzen, wird ein Messschieber verwendet, um den Rundlauf W zu messen, sowie den Durchmesser der Welle d1 zu messen und den Durchmesser des Lochs in der Scheibe D2 aus der Tabelle abzulesen.
c) Da der Unwuchtwert nicht mit einer Ausgleichsmaschine gemessen werden kann, wird die Zusammensetzung der Kräfte aus der Unwucht unter den ungünstigsten Bedingungen angenommen. Solche Bedingungen entsprechen der Addition von Vektoren mit gleicher Richtung (in der Realität können die Kräfte in verschiedenen Richtungen addiert werden).
Es wurde angenommen, dass das Lager B, das mit höheren Seitenkräften belastet wird, analysiert würde.
Die Annahme, dass ein Rotor mit einer Masse von M1 = 500 kg eine anfängliche Unwucht von G40 hat, bedeutet eine Verschiebung e1 seines Schwerpunkts c1 um den unten bestimmten Wert.
¹ M. Malec: Dynamisches Auswuchten von Rotoren in Theorie und Praxis. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Bestimmung des Unwuchtwertes
Zur Bestimmung des Unwuchtwerts wird die folgende Beziehung verwendet:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Wobei: – ist die Rotorunwucht, – Ausgleichsgenauigkeitsklasse, – Drehzahl, – rotierende Masse¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*."
Die Exzentrizität wird bestimmt 𝑚𝑚$ unter Verwendung des Werts des Ausgleichsgewichts, das den Rotor ausgleichen würde, wenn es auf dem Radius angebracht wäre.
Beziehung (1) nach Umformung für Unwucht G40 und Drehzahl n = 2.900 U/min hat die Form:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Wobei: ist eine Masse, die an einem Punkt zentriert ist, auf einem Radius angebracht, was eine Unwucht ergibt.
Verwenden Sie die Beziehung der Gleichheit der statischen Momente des gesamten Rotors auf die Exzentrizität und das Ausgleichskorrekturgewicht auf dem Durchmesser angebracht:
%!
2 𝑚𝑚!𝜔𝜔„𝐿𝐿“ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼 𝛼[𝑁𝑁𝑁𝑁].
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
Von hier aus:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
"" [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 ""
%!
𝐺𝐺 𝐺P ' Q𝑁 && e!
%!
2 𝑚𝑚!𝜔𝜔„𝐿𝐿“ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼 𝛼[𝑁𝑁𝑁𝑁].
3,14 ∙600 ∙2.900 = 219,6 𝑔𝑔, %!
NE ""
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Daher der auf der Zylinderfläche zu messende Rundlauf:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Die auf das Lager wirkenden Komponentenkräfte sind:
a) F1 konstant in Wert und Richtung, resultierend aus dem Gewicht des Rotors und der Kupplung,
b) F2 rotierend, resultierend aus der Unwucht des Rotors,
c) F3 rotierend, resultierend aus der Unwucht der Kupplungsscheibe, verursacht durch die Exzentrizität ihrer Befestigung auf der Rotorwelle (Hinweis: es wird angenommen, dass die Kupplungsscheibe ausgewogen wurde und ihre Restunwucht einen kleinen Wert hat, der vernachlässigt werden kann).
Die drei Komponentenkräfte auf dem Lager
Die Schwerkraft auf den Rotor ist immer nach unten gerichtet. Trägheitskräfte, die durch Unwucht verursacht werden, drehen sich mit dem Rotor. Daher wird das Lager mit einer variablen Kraft bezüglich Wert und Richtung belastet. Der Wert variiert von einem Minimum, das ist, bis zu einem Maximum, das ist. Die Richtung der resultierenden Einwirkung ist variabel im Bereich von. Es wurde hier angenommen, dass die Kupplung auf der Welle in der ungünstigsten relativen Anordnung von Spielen angebracht wurde und folglich Trägheitskräfte aufgrund des Mangels an Kontrolle der Winkelposition der Kupplung und der Rotorunwucht.
𝐹𝐹'0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹\/.
𝐹𝐹'0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Bestimmung der auf das Lager B wirkenden Kräfte.
𝐹𝐹„ = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔“𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a “"
Spiel in der Kupplungsscheibenbefestigung
Der Kraftberechnung geht eine Dimensionsanalyse des kinematischen Paares voraus, das die Welle und die Kupplungsscheibe bilden.
Die Praxis zeigt, dass auf Rotorwellen montierte Komponenten eine Quelle zusätzlicher Unwucht und damit eine Quelle zusätzlicher Vibrationen der Aggregate sind. Das Verhalten der Kupplungsscheibe nach ihrer Montage auf der Rotorwelle sollte zunächst analysiert werden.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9.81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3.14 ∙2900 30 e ""
0.131f = 3017 𝑁𝑁 "!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
Die Kupplungsscheibe kann auf dem Rotor beliebig, aber innerhalb ihrer Toleranz befestigt werden, wobei die Toleranz in jedem beliebigen Winkel in der Ebene senkrecht zur Rotationsachse ausgerichtet sein kann. Nach den Regeln nehmen wir den ungünstigsten Fall an: Der Rundlauf der Welle und die maximale Abweichung der Bohrungsausführung addieren sich in derselben Richtung.
Der Rotor dreht sich in den Ebenen, in denen die Lager montiert sind, relativ zur tatsächlichen Rotationsachse 1. Die geometrische Achse des Wellenendes ist die Achse 3. Die Hauptträgheitsachse der Kupplungsscheibe zusammen mit dem Schwerpunkt c2 ist die Achse 2.
Exzentrizität der Schwerpunktposition der Kupplungsscheibe, die sich aus dem Querlauf der Welle ergibt:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0.024 2 = 0.012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Exzentrizität, die sich aus der Ausführung der Welle unterhalb des Nennwertes und der Bohrung in der oberen Abweichung ergibt:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0.0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Gesamtexzentrizität der Kupplungsscheibenmontage auf der Rotorwelle:
𝑒𝑒+,' = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0.012 + 0.0205 = 0.0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Exzentrizität, die sich aus der dezentralen Befestigung der Kupplungsscheibe ergibt:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,' = 60 ∙10& ∙0.0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Kraft durch die Exzentrizität der Kupplungsscheibe
Die Kraft F3 wird durch die Beziehung bestimmt:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔„ = 𝑀𝑀“𝑒𝑒'0&𝜔𝜔“ = 6 ∙102 ∙0.0325 ∙d3.14 ∙2900 Die tatsächliche Kraft auf das Lager B wird unter Verwendung der Momentengleichung bezüglich beispielsweise des in Abbildung 1 gezeigten Punktes A bestimmt:
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 In dem Fall, in dem nach dem Rotorfertigung und vor dem Auswuchten seine Unwucht der Auswerfergenauigkeitsklasse G40 entspricht, mit gleichmäßiger Verteilung der Lagerbelastung durch das Rotorgewicht haben wir die folgenden Werte der Komponentenkräfte, die das Lager B belasten:
Tabelle 1. Auf das Lager B wirkende Kräfte bei n = 2900 U/min und anfänglicher Unwucht G40.
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 U/min F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215.5 N Bei der Auswahl von Lagern nach einem Katalog, z. B. SKF, unter rotierender Belastung sollte der Wert des Lastabweichungsfaktors bestimmt und in die Gleichung zur Bestimmung der durchschnittlichen Last einbezogen werden:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/)
Lagerauswahl: der fm-Koeffizient
Um diesen Koeffizienten zu bestimmen, zeichnen Sie die Funktion r𝑓𝑓& der Variation des Parameters als Funktion der Werte der rotierenden Kräfte F2 und F3 Diagramm 1².
Um den Wert des Koeffizienten fm zu bestimmen, führen Sie eine Hilfsberechnung durch:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0.43 𝑓 Für den berechneten Wert, der aus dem Diagramm 1 des Katalogs abgelesen wird: fm = 0,77.
² Wälzlagerkatalog r𝑓𝑓& 𝐹 Für diesen Wert fm ist die durchschnittliche Lagerbelastung nach dem Katalog:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0.77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Annahmen für die erforderliche Lagerdauer
Annahmen zur erforderlichen Lagerdauer treffen:
a) die auf das Lager wirkenden Kräfte haben eine radiale Richtung, aus der sich die äquivalente dynamische Last ergibt: P = Fm,
b) es wird angenommen, dass das Lager für Stunden betrieben werden sollte.
Mit dem Diagramm zur Lagerberechnung können Sie die Auswirkung des Wertes der Seitenkräfte überprüfen:
c) es wird angenommen, dass das Lager Lh = 10.000 Stunden betrieben werden sollte
d) die Verringerung der Betriebszeit des verwendeten Lagers aufgrund zusätzlicher rotierender Kräfte.
Bezüglich c. wählen Sie ein Lager aus, indem Sie die nominale dynamische Tragzahl C ermitteln.
Einige Anmerkungen zur Konstruktion von Nomogrammen.
Wie die Nomogramme aufgebaut sind
Nomogramme wurden entwickelt, als Rotordesigner einfache Berechnungswerkzeuge verwendeten. Ihre heutige Bedeutung liegt hauptsächlich in einer guten Visualisierung des Lagerauswahlprozesses.
Der Begriff Nomogramme wird in der Mehrzahl verwendet, weil die vertikale Ausrichtung der Achsen P[N] und C[N] in Bezug auf die anderen Achsen auf Diagrammen verschiedener Lagerhersteller leicht verschoben sein kann. Dies hängt von der erreichten Lagerleistung ab. Die Achsen Lh[h], L[Mio. U/min] und n[U/min] sind durch die Rotorkinematik eindeutig miteinander verbunden. Beispiel: Bei 100 Betriebsstunden mit 2500 U/min führt der Rotor 100 × 2500 × 60 = 15 Millionen Umdrehungen durch. Diese drei Achsen sind so zueinander angeordnet, dass jede gerade Linie, die die gewählten Umdrehungen mit der angenommenen Anzahl der Betriebsstunden ohne Ausfallzeiten des Lagers verbindet, das korrekte Ergebnis dieser Multiplikation auf der Achse L[Mio. U/min] ergibt.
Die Position und die Skalierung der anderen Achsen ergeben sich aus der Leistung der Lager des jeweiligen Herstellers. Sie sind so angeordnet und entlang ihrer Länge gestreckt, dass ein weiteres gerades Segment, das durch den zuvor bestimmten Punkt auf der Achse L[Million U/min] verläuft, den Wert der Gesamtquerkräfte im Lager auf der P-Achse mit dem bestimmten Wert C verbindet, der die Wahl der Lagergröße bestimmt³.
Die Verwendung einer logarithmischen Skala verkürzt die Achsenlängen.
Im Nomogramm 1 ist die gerade Linie 1 eine Hilfslinie, die für die angenommene Betriebsdauer Lh und bei der angegebenen Rotordrehzahl n = 2900 U/min die Zahl auf der L-Achse bestimmt, die die Anzahl der in Millionen gezählten Umdrehungen in der angenommenen Zeit angibt. Die gerade Linie 2, die den bestimmten Punkt auf der L-Achse schneidet und gleichzeitig durch den Punkt verläuft, der die statische Last des Lagers (2452 N) bestimmt, ergibt am anderen Ende die erforderliche nominale statische Tragfähigkeit des Lagers C. Sie beträgt hier etwa 32 kN. Dies ist die Tragfähigkeit für den statischen Fall.
Die gerade Linie 3, die durch den von Linie 1 auf der L-Achse bestimmten Punkt verläuft und durch den Punkt, der die Gesamtlast aus statischen und dynamischen Kräften Fm = P bestimmt (wie in Gleichung (2) angegeben), mit einem Wert von 4376 N, bestimmt die neue erforderliche nominale dynamische Tragfähigkeit des Lagers. Sie beträgt hier etwa 54 kN.
Nomogramm 1. Auswahl der nominalen dynamischen Lagertragfähigkeit C für die angenommene Betriebsdauer Lh und die äquivalente dynamische Last P.
Fazit: Wenn zu den Kräften aus dem Rotorgewicht die Kräfte aus der anfänglichen Unwucht des Rotors und die Unwucht durch die Exzentrizität der Befestigung der Kupplungsscheibe auf der Welle addiert werden, erhöht sich die erforderliche nominale Lagertragfähigkeit C, die für statische Kräfte bestimmt wurde, um etwa 67 %. Das Vorhandensein von Unwucht auf dem Nomogramm 1.
Der Rotor belastet ihn in einem Ausmaß, das für die akzeptierten Daten nicht zu vernachlässigen ist. Die Last aus rotierenden Kräften kann zu Überbelastung und Zerstörung des Lagers führen. Sie verkürzt auch seine ausfallfreie Lebensdauer.
Neuberechnung der Lagerdauer unter zusätzlichen Kräften
Zu d. Bestimmung der neuen Betriebsdauer Lh für das angewendete Lager, das mit zusätzlichen rotierenden Kräften F2 und F3 bei der angenommenen nominalen dynamischen Lagertragfähigkeit C belastet wird.
Im Nomogramm 2 bestimmen die geraden Linien 1 und 2 die gleichen Werte wie im Nomogramm 1.
Linie 3 wird anders gezeichnet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, eine andere nominale Lebensdauer L zu bestimmen, gemessen in Millionen Umdrehungen des gewählten Lagers, das mit rotierenden Kräften zusätzlich zu statischen Kräften belastet wird. Die Linie verbindet den Gesamtwert aller Kräfte – statisch und rotierend – umgerechnet auf einen Durchschnittswert von Fm = 4376 N mit der zuvor nur für statische Belastung bestimmten nominalen Tragfähigkeit C. Diese gerade Linie bestimmt auf der L-Achse den neuen Wert der in Millionen gezählten Umdrehungen. Die gerade Linie 4 verbindet diesen neuen Wert auf der L-Achse mit den zuvor angenommenen Umdrehungen pro Minute und bestimmt auf der Lh-Achse die neue Anzahl der ausfallfreien Betriebsstunden des Lagers.
Nomogramm 2. Bestimmung der neuen Betriebsdauer Lh für das angewendete Lager, das mit zusätzlichen rotierenden Kräften F2 und F3 bei der angenommenen nominalen dynamischen Lagertragfähigkeit C belastet wird.
Fazit: Aufgrund des Auftretens zusätzlicher rotierender Kräfte aus der Unwucht des Rotors und des Kupplungselements verringerte sich die ausfallfreie Betriebsdauer aus Nomogramm 2.
von 10.000 Stunden bei ausgewuchteter Rotor und Kupplung, die nach ihrer Montage auf der Welle neu ausgewuchtet wurde, auf etwa 2.000 Stunden bei unausgewuchteter Rotor und Kupplung.
Die Auswahl eines größeren Lagers, dessen nominale dynamische Tragfähigkeit C es ermöglicht, die Last aus der Unwucht zu tragen, löst das Problem nicht. Sie erhöht die Abmessungen der meisten rotierenden Komponenten. Dies erhöht auch ihre anfängliche Unwucht, die auf die derzeit verwendeten Fertigungstoleranzen zurückzuführen ist. Eine wirksame Lösung ist das Auswuchten.
