Cualquier elemento estructural de una máquina rotativa que participa en el movimiento rotativo tiene un eje de simetría. Este eje es también el eje central principal de inercia de masa, y los momentos de desviación de masa en su dirección son cero. Si el elemento gira realmente alrededor de él, su masa no fuerza el movimiento y, por lo tanto, no induce fuerzas en sus apoyos.
Los sistemas mecánicos que cooperan en movimiento rotativo suelen diseñarse de modo que sus ejes de simetría, una vez ensamblados, también coincidan. Como resultado de errores de forma de trazo y de ensamble, el eje común de rotación real del sistema, en la mayoría de los casos, no coincide con un eje seleccionado de un elemento componente. Por lo tanto, el centro de gravedad común de todos los componentes de un sistema rotativo no se encuentra sobre el eje de rotación real. Algunos componentes también pueden estar sujetos de forma oblicua, es decir, con un error angular. Por ello, el eje principal de inercia de masa de todo el rotor queda oblicuo respecto del eje de rotación real. La posición del eje real queda fijada por el cojinete (es decir, por las ataduras). Esta alineación de los dos ejes (el eje central principal de inercia y el eje de giro real), uno respecto del otro, es el origen de la excitación del movimiento y de las fuerzas adicionales que se presentan en los puntos de apoyo del rotor. Esta excitación es específica en la medida en que la amplitud de la fuerza excitadora aumenta con el incremento de la rotación del rotor rígido y tiene una dirección constante en relación con el rotor.
En una máquina rotativa, el componente que sirve de unión para el rotor y lo mantiene en el eje de rotación está expuesto directamente a las fuerzas del desbalance. Se trata de los rodamientos montados en los muñones del rotor. En ellos, las fuerzas de inercia rotativas se encuentran con las reacciones de los apoyos.
El siguiente ejemplo muestra el efecto destructivo de las fuerzas del desbalance sobre la vida útil de los rodamientos. Esta influencia es evidente porque los rodamientos de bolas son mecánicamente resistentes, entre otras cosas, a las fuerzas externas y laterales. Estas fuerzas laterales, que llamamos fuerzas de inercia, surgen cuando se acelera la masa del rotor y se oponen a esa aceleración. Como en el movimiento rotativo existe aceleración centrípeta, las fuerzas de inercia actúan de manera centrífuga y sus amplitudes dependen de la velocidad de rotación.
Modelado del rotor y del disco de embrague
Para analizar el efecto del desbalance sobre la durabilidad y la selección del rodamiento, se adoptó el siguiente modelo de la unión entre el rotor y la mitad del cople. El rotor está soportado de forma simétrica con respecto a su centro de gravedad. Para simplificar el análisis, se supuso que el material del rotor es homogéneo en toda su extensión. El cabeceo medido del muñón del rotor puede deberse a la curvatura del eje o a un maquinado inexacto.
Datos de entrada:
M1 = 500 kg (masa del rotor), M2 = 60 kg (masa del disco del embrague), d1 = 34,984 mm (diámetro del eje del rotor), D1 = 600 mm (diámetro del eje exterior del rotor), D2 = 3,5H7 mm (diámetro del orificio hecho en el disco del embrague), W = 24 μm (cabeceo radial medido en el eje del rotor), Lh = 10,000 horas (número de horas de operación sin problemas supuesto por el diseñador del dispositivo del rotor), n = 2,900 rpm (velocidad del rotor).
El rotor cuenta con un protocolo de balanceo vigente que indica que fue balanceado en la clase G40. El disco de embrague cuenta con un protocolo de balanceo vigente que indica que fue balanceado en la clase G1.
Procedimiento aceptado:
a) Los valores de desbalance se determinarán sin el uso de una balanceadora.
b) Para estimar el valor de las fuerzas de inercia rotatorias, se utilizará un medidor de trayectoria para medir la excentricidad radial W, así como para medir el diámetro del eje d1 y leer en la tabla el diámetro del orificio del disco D2.
c) Al no ser posible medir el valor del desbalance con una balanceadora, se supondrá la composición de las fuerzas del desbalance en las condiciones menos favorables. Dichas condiciones corresponden a la suma de vectores con la misma dirección (en la realidad, las fuerzas pueden sumarse en direcciones distintas).
Se supuso que se analizaría el rodamiento B, que está sometido a fuerzas laterales mayores.
El supuesto de que un rotor con una masa de M1 = 500 kg tiene un desbalance inicial de G40 implica un desplazamiento e1 de su centro de gravedad c1 por el valor que se determina a continuación.
¹ M. Malec: Dynamic balancing of rotors in theory and practice (Balanceo dinámico de rotores en la teoría y en la práctica). MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Determinación del valor de desbalance
Para determinar el valor del desbalance se utiliza la relación:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Donde: – es el desbalance del rotor, – clase de precisión de balanceo, – velocidad de rotación, – masa rotatoria¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
La excentricidad se determinará 𝑚𝑚$ a partir del valor de la masa correctiva que balancearía el rotor si estuviera asentada en el radio .
La relación (1), tras la transformación para un desbalance G40 y una rotación n = 2900 obr/min, tiene la forma:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Donde : es una masa concentrada en un punto, asentada sobre un radio , que genera un desbalance .
Utilice la relación de igualdad de los momentos estáticos de todo el rotor sobre la excentricidad y la masa de corrección de balanceo asentada sobre el diámetro:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
De aquí:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
” [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 “
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE “
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0.131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Por lo tanto, el cabeceo radial que debe medirse en la superficie cilíndrica es:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0.262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Las fuerzas componentes que actúan sobre el rodamiento son:
a) F1, constante en valor y dirección, resultante del peso del rotor y del acoplamiento,
b) F2 giratoria, resultante del desbalance del rotor,
c) F3 rotatoria, resultante del desbalance del disco de embrague causado por la excentricidad de su fijación al eje del rotor (nota: se supone que el disco de embrague fue balanceado y que su desbalance residual tiene un valor pequeño que puede ignorarse).
Las tres fuerzas componentes sobre el rodamiento
La fuerza de gravedad sobre el rotor siempre se dirige hacia abajo. Las fuerzas de inercia provocadas por el desbalance giran junto con el rotor. Por lo tanto, el rodamiento está sometido a una fuerza variable en valor y dirección. El valor varía desde un mínimo, que es hasta un máximo, que es La dirección de la acción resultante es variable dentro del rango de . Aquí se supuso que el cople estaba fijado en el eje en la disposición relativa más desfavorable de las holguras y, en consecuencia, de las fuerzas de inercia, debido a la falta de control de la posición angular del cople y del desbalance del rotor.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹” −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Determinación de las fuerzas que actúan sobre el rodamiento B.
𝐹𝐹” = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔”𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a “
Holgura en el montaje del disco de embrague
El cálculo de la fuerza estará precedido por un análisis dimensional del par cinemático que forman el eje y el disco de embrague.
La práctica demuestra que los componentes montados sobre los ejes de los rotores son una fuente de desbalance adicional y, por lo tanto, una fuente de vibración adicional de los equipos. Conviene analizar primero el comportamiento del disco de embrague después de montarse sobre el eje del rotor.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9.81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3.14 ∙2900 30 e “
0.131f = 3017 𝑁𝑁 “!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
El disco del embrague puede fijarse en el rotor de forma arbitraria, pero dentro de su holgura, y esa holgura puede quedar en cualquier ángulo aleatorio del plano perpendicular al eje de rotación. De acuerdo con las reglas, se supone el peor caso: el cabeceo del eje y la desviación máxima en la ejecución del orificio se suman en la misma dirección.
El rotor, en los planos en los que están montados los rodamientos, gira con respecto al eje de rotación real 1. El eje geométrico del extremo del eje del rotor es el eje 3. El eje central principal de inercia del disco del cople, junto con el centro de gravedad c2, es el eje 2.
Excentricidad de la posición del centro de gravedad del disco de embrague, resultante del cabeceo transversal del eje:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0.024 2 = 0.012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidad resultante de fabricar el eje por debajo del valor nominal y el orificio en la desviación superior:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0.0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidad total del montaje del disco de embrague en el eje del rotor:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0.012 + 0.0205 = 0.0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32.5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Excentricidad resultante de la fijación descentrada del disco de embrague:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0.0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Fuerza debida a la excentricidad del disco de embrague
La fuerza F3 se determina mediante la relación:
𝐹𝐹\/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔” = 𝑀𝑀”𝑒𝑒’0&𝜔𝜔” = 6 ∙102 ∙0.0325 ∙d3.14 ∙2900 La fuerza real sobre el cojinete B, utilizando la ecuación de la suma de momentos con respecto, por ejemplo, al punto A que se muestra en la figura 1, es:
𝐹𝐹/ = 215.5 𝑁𝑁 En el caso en que, después del proceso de manufactura del rotor y antes del balanceo, su desbalance corresponda a la clase de precisión de balanceo G40, con distribución uniforme de la carga del rodamiento a partir del peso del rotor, se tienen los siguientes valores de las fuerzas componentes que cargan el rodamiento B:
Tabla 1. Fuerzas que actúan sobre el rodamiento B a n = 2900 o br/min y desbalance inicial G40.
= 179.6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215.5 N Al seleccionar los rodamientos según el catálogo, por ejemplo el de SKF, en condiciones de carga rotativa, debe determinarse el valor del factor de variación de la carga e incluirse en la ecuación para determinar la carga promedio:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/)
Selección del rodamiento: el coeficiente fm
Para determinar este coeficiente, trace la función r𝑓𝑓& de variación del parámetro en función de los valores de las fuerzas rotatorias F2 y F3, Gráfica 1².
Para determinar el valor del coeficiente fm, realice un cálculo auxiliar:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹\/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0.43 𝑓 Para el valor calculado, se lee en la gráfica 1 del catálogo: fm = 0.77.
² Catálogo de rodamientos de rodillos r𝑓𝑓& 𝐹 Para este valor de fm, la carga promedio del rodamiento, según el catálogo, es:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹” + 𝐹𝐹/) = 0.77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Suposiciones para la vida útil requerida del rodamiento
Suposiciones sobre la vida útil requerida del rodamiento:
a) las fuerzas que actúan sobre el rodamiento tienen dirección radial, por lo que la carga dinámica equivalente es: P = Fm,
b) se supone que el rodamiento debe operar durante horas.
Con el gráfico para el cálculo de rodamientos, puede comprobar el efecto del valor de las fuerzas laterales:
c) se supone que el rodamiento debe operar Lh = 10,000 horas
d) la reducción de la vida útil del rodamiento empleado debido a las fuerzas rotatorias adicionales.
Respecto al punto c., seleccione un rodamiento determinando la capacidad de carga dinámica nominal C.
Algunas observaciones sobre la construcción de nomogramas.
Cómo se elaboran los nomogramas
Los nomogramas se desarrollaron cuando los diseñadores de rotores utilizaban herramientas de cálculo sencillas. Su importancia actual radica principalmente en que permiten visualizar bien el proceso de selección de cojinetes.
El término nomogramas se usa en plural porque la alineación vertical de los ejes P[N] y C[N] con respecto a los demás ejes puede variar ligeramente en los gráficos elaborados por distintos fabricantes de rodamientos. Depende del desempeño del rodamiento obtenido. Los ejes Lh[h], L[mln rpm.] y n[rpm] están relacionados entre sí de manera unívoca por la cinemática del rotor. Por ejemplo: en 100 horas de operación a 2500 rpm, el rotor dará 100•2500•60=15 millones de revoluciones. Estos tres ejes están dispuestos entre sí de tal manera que cualquier recta que una las rotaciones seleccionadas con el número supuesto de horas de operación del rodamiento sin fallas dará el resultado correcto de la multiplicación anterior en el eje L[mln rpm].
La posición y las escalas de los demás ejes se derivan del desempeño de los rodamientos del fabricante correspondiente. Están ubicados y estirados a lo largo de su longitud de modo que otra recta, que pasa por el punto determinado previamente en el eje L[million rpm], une el valor de las fuerzas laterales totales en el rodamiento, indicado en el eje P, con el valor determinado de C, que define la elección del tamaño del rodamiento³.
Al adoptar una escala logarítmica se acortan las longitudes de los ejes.
En el nomograma 1, la recta 1 es una línea auxiliar que, para el número supuesto de horas de operación Lh y a ³ Roller bearing catalog la velocidad de rotación especificada del rotor n=2900 rpm, determina en el eje L el número que establece la cantidad de revoluciones contadas en millones en el tiempo supuesto. La recta 2, que corta el punto determinado en el eje L y pasa al mismo tiempo por el punto que determina la carga estática del rodamiento (2452 N), determina en el otro extremo la capacidad de carga estática nominal requerida del rodamiento C. Aquí es de aproximadamente 32 kN. Esta es la capacidad de carga para el caso estático.
La recta 3, que pasa por el punto determinado por la recta 1 en el eje L y por el punto que determina la carga estática y dinámica total Fm = P, escrita en la ecuación (2) y equivalente a 4376 N, determina la nueva capacidad dinámica nominal requerida del rodamiento. Aquí es de aproximadamente 54 kN.
Nomograma 1. Selección de la capacidad dinámica nominal del cojinete C para el número supuesto de horas de operación Lh y la carga dinámica equivalente P.
Conclusión: al sumar a las fuerzas provenientes del peso del rotor las fuerzas provenientes del desbalance inicial del rotor y del desbalance causado por la excentricidad de la fijación del disco del cople al eje, la capacidad nominal requerida del rodamiento C, determinada para fuerzas estáticas, aumentó alrededor de 67%. La presencia de desbalance en el nomograma 1.
el rotor le impone una carga adicional en una medida que no puede ignorarse para los datos aceptados. La carga de las fuerzas rotatorias puede provocar la sobrecarga y la destrucción del cojinete. También acortará su vida útil libre de fallas.
Nuevo cálculo de la vida útil del rodamiento con fuerzas adicionales
Inciso d. Determinación del nuevo tiempo de operación Lh para el cojinete aplicado, cargado con las fuerzas rotatorias adicionales F2 y F3, con la capacidad dinámica nominal del cojinete C supuesta.
En el nomograma 2, las rectas 1 y 2 determinan los mismos valores que en el monograma 1.
La línea 3 se traza de manera distinta. El propósito del procedimiento es determinar una vida nominal L diferente, medida en millones de revoluciones, del cojinete seleccionado cuando se carga con fuerzas rotativas además de fuerzas estáticas. La línea une el valor total de todas las fuerzas, estáticas y rotativas, convertido a un valor promedio de Fm = 4376 N, con la capacidad de carga nominal C determinada previamente solo para carga estática. Esta recta sobre el eje L determina el nuevo valor del número de revoluciones expresado en millones de revoluciones. La recta 4, que une este nuevo valor sobre el eje L con las revoluciones por minuto supuestas previamente, determina sobre el eje Lh el nuevo número de horas de operación del cojinete sin fallas.
Nomograma 2. Determinación del nuevo tiempo de operación Lh para el cojinete aplicado, cargado con las fuerzas rotatorias adicionales F2 y F3, con la capacidad dinámica nominal del cojinete C supuesta.
Conclusión: como resultado de la aparición de fuerzas rotatorias adicionales debidas al desbalance del rotor y del elemento de acoplamiento, el tiempo de operación libre de fallas disminuyó respecto del Nomograma 2.
10,000 horas, con el rotor balanceado y el acoplamiento rebalanceado después de su instalación en el eje, a aproximadamente 2,000 horas con el rotor y el acoplamiento desbalanceados.
Seleccionar un rodamiento de mayor tamaño, cuya capacidad de carga dinámica nominal C le permita soportar la carga del desbalance, no resuelve el problema. Aumentará las dimensiones de la mayoría de los componentes giratorios. Esto también aumentará su desbalance inicial, que se debe a las precisiones actuales empleadas en la manufactura. Una solución eficaz es el balanceo.
