Qualsiasi elemento strutturale di una macchina rotante che partecipa al movimento rotatorio ha un asse di simmetria. Tale asse è anche l’asse centrale principale d’inerzia delle masse, e i momenti di deviazione delle masse nella sua direzione sono nulli. Se l’elemento ruota effettivamente attorno a esso, la sua massa non forza il movimento e quindi non induce forze nei suoi supporti.
I sistemi meccanici che cooperano in movimento rotatorio sono solitamente progettati in modo che, una volta assemblati, anche i loro assi di simmetria coincidano. A causa di errori di forma e di assemblaggio, l’effettivo asse di rotazione comune del sistema il più delle volte non coincide con un asse selezionato di un elemento componente. Di conseguenza, il baricentro comune di tutti i componenti di un sistema rotante non si trova sull’effettivo asse di rotazione. Alcuni componenti possono inoltre essere fissati in modo obliquo, ovvero con un errore angolare. In questo modo, l’asse principale centrale di inerzia dell’intero rotore risulta obliquo rispetto all’effettivo asse di rotazione. La posizione dell’asse effettivo è determinata dal cuscinetto (cioè dai vincoli). Questo disallineamento dei due assi (l’asse principale centrale di inerzia e l’effettivo asse di rotazione), l’uno rispetto all’altro, è all’origine dell’eccitazione del moto e delle forze aggiuntive che si manifestano nei punti di appoggio del rotore. Questa eccitazione è particolare in quanto l’ampiezza della forza eccitante aumenta con l’aumentare della rotazione del rotore rigido e ha una direzione costante rispetto al rotore.
In una macchina rotante, il componente che vincola il rotore e lo mantiene nella struttura dell’asse di rotazione è esposto direttamente alle forze dovute allo squilibrio. Si tratta dei cuscinetti montati sui perni del rotore. In essi le forze d’inerzia rotanti incontrano le reazioni dei supporti.
L’esempio seguente mostra l’effetto distruttivo delle forze dovute allo squilibrio sulla durata dei cuscinetti volventi. Questa influenza è evidente perché i cuscinetti a sfere sono meccanicamente resistenti, tra l’altro, alle forze esterne e laterali. Tali forze laterali, che definiamo forze d’inerzia, nascono quando la massa del rotore viene accelerata. Esse si oppongono a questa accelerazione. Poiché nel movimento rotatorio è presente un’accelerazione centripeta, le forze d’inerzia agiscono in senso centrifugo e le loro ampiezze dipendono dalla velocità di rotazione.
Modellazione del rotore e del disco della frizione
Per analizzare l’effetto dello squilibrio sulla durata e sulla scelta del cuscinetto, è stato adottato il seguente modello di collegamento tra rotore e semigiunto. Il rotore è sostenuto in modo simmetrico rispetto al suo baricentro. Per semplificare l’analisi, si è ipotizzato che il materiale del rotore sia omogeneo in tutto il suo volume. L’oscillazione misurata del perno del rotore può essere dovuta alla curvatura dell’albero o a una lavorazione meccanica imprecisa.
Dati di ingresso:
M1 = 500 kg (massa del rotore), M2 = 60 kg (massa del disco della frizione), d1 = 34.984 mm (diametro dell’albero del rotore), D1 = 600 mm (diametro dell’albero esterno del rotore), D2 = 3,5H7 mm (diametro del foro realizzato nel disco della frizione), W = 24 μm (oscillazione radiale misurata sull’albero del rotore), Lh = 10.000 ore (numero di ore di funzionamento senza guasti ipotizzato dal progettista del dispositivo a rotore), n = 2.900 rpm (velocità del rotore).
Il rotore dispone di un protocollo di equilibratura aggiornato, che attesta che è stato equilibrato in classe G40. Il disco della frizione dispone di un protocollo di equilibratura aggiornato, che attesta che è stato equilibrato in classe G1.
Procedura accettata:
a) I valori dello squilibrio verranno determinati senza l’impiego di un’equilibratrice.
b) Per stimare il valore delle forze d’inerzia rotanti si utilizzerà un comparatore per misurare l’eccentricità W, oltre a misurare il diametro dell’albero d1 e a rilevare dalla tabella il diametro del foro nel disco D2.
c) Poiché non è possibile misurare il valore dello squilibrio con un’equilibratrice, si assumerà la composizione delle forze dovute allo squilibrio nelle condizioni meno favorevoli. Tali condizioni corrispondono alla somma di vettori aventi la stessa direzione (in realtà le forze possono sommarsi in direzioni diverse).
Si è ipotizzato di analizzare il cuscinetto B, sollecitato da forze laterali maggiori.
L’ipotesi che un rotore con una massa di M1 = 500 kg presenti uno squilibrio iniziale di classe G40 comporta lo spostamento e1 del suo baricentro c1 del valore determinato di seguito.
¹ M. Malec: Dynamic balancing of rotors in theory and practice. MM Publications. Bydgoszcz 2022.
Determinazione del valore di squilibrio
Per determinare il valore dello squilibrio si utilizza la relazione:
𝑁𝑁E = 𝑚𝑚$ ∙ Dove: – è lo squilibrio del rotore, – è la classe di precisione di equilibratura, – è la velocità di rotazione, – è la massa rotante¹.
&,-Q 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑀𝑀! [𝑔𝑔] 𝑛𝑛 P ()*.
L’eccentricità sarà determinata 𝑚𝑚$ utilizzando il valore della massa di correzione che equilibrerebbe il rotore se fosse applicata al raggio .
La relazione (1) dopo la trasformazione per squilibrio G40 e rotazione n = 2900 obr/min assume la forma:
𝜋𝜋∙𝐷𝐷! ∙𝑛𝑛= 60 ∙5 ∙10. ∙40 𝑚𝑚$ = 60 ∙𝑀𝑀! ∙𝐺𝐺 𝑚𝑚$ Dove : è una massa concentrata in un punto, posta su un raggio , che genera uno squilibrio .
Si utilizzi la relazione di uguaglianza dei momenti statici dell’intero rotore sull’eccentricità e della massa di correzione dell’equilibratura applicata sul diametro:
%!
“
𝑀𝑀! ∙𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
Da qui:
𝑒𝑒! = 𝑚𝑚$ ∙𝐷𝐷!
2 ∙𝑀𝑀! = 219.6 ∙600 G = NEπn 30M! (1)
« [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔]𝑀𝑔𝑚 »
%!
𝐺𝐺 𝐺P ‘ Q𝑁 && e!
%!
“
3.14 ∙600 ∙2900 = 219.6 𝑔𝑔, %!
NE "
𝑒𝑒!
2 (2)
2 ∙5 ∙10. = 0,131 𝑚𝑚𝑚𝑚= 131 𝜇𝜇𝜇𝜇 Pertanto, l’oscillazione radiale da misurare sulla superficie cilindrica:
𝑤𝑤! = 2𝑒𝑒! = 0,262 𝑚𝑚𝑚𝑚= 262 𝜇𝜇𝜇𝜇 Le componenti delle forze agenti sul cuscinetto sono:
a) F1 costante per valore e direzione, derivante dal peso del rotore e del giunto,
b) F2 rotante, derivante dallo squilibrio del rotore,
c) F3 rotante, risultante dallo squilibrio del disco della frizione causato dall’eccentricità del suo fissaggio all’albero del rotore (nota: si assume che il disco della frizione sia stato equilibrato e che il suo squilibrio residuo abbia un valore ridotto, trascurabile).
Le tre forze componenti sul cuscinetto
La forza di gravità agente sul rotore è sempre diretta verso il basso. Le forze d’inerzia causate dallo squilibrio ruotano insieme al rotore. Il cuscinetto è quindi sollecitato da una forza variabile per valore e direzione. Il valore varia da un minimo, pari a, a un massimo, pari a La direzione dell’azione risultante è variabile nell’intervallo di . Si è ipotizzato che il giunto fosse fissato sull’albero nella disposizione relativa più sfavorevole dei giochi e, di conseguenza, delle forze d’inerzia, per l’assenza di controllo della posizione angolare del giunto e dello squilibrio del rotore.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! −𝐹𝐹" −𝐹𝐹/.
𝐹𝐹’0& = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/.
∓𝜑𝜑 Determinazione delle forze agenti sul cuscinetto B.
𝐹𝐹« = 1 2 [𝑀𝑀!𝜔𝜔»𝑒𝑒!] = 1 2 _𝑀𝑀! `𝜋𝜋𝜋𝜋 30a »
Gioco nel montaggio del disco della frizione
Il calcolo della forza sarà preceduto da un’analisi dimensionale della coppia cinematica costituita dall’albero e dal disco della frizione.
La pratica dimostra che i componenti montati sugli alberi dei rotori sono fonte di squilibrio aggiuntivo e, di conseguenza, di vibrazioni aggiuntive dei gruppi. Il comportamento del disco della frizione dopo il montaggio sull’albero del rotore deve essere analizzato in via preliminare.
∅35𝐻𝐻7 = 35!
𝐹𝐹! = 𝑀𝑀! ∙𝑔𝑔 2 = 500 ∙9,81 2 = 2452 𝑁𝑁 𝑒𝑒!b = 1 2 c5 ∙10. ∙d3,14 ∙2900 30 e "
0,131f = 3017 𝑁𝑁 "!.!$%𝑚𝑚𝑚𝑚.
Il disco della frizione può essere fissato sul rotore in modo arbitrario, ma entro il proprio gioco, mentre il gioco può essere recuperato a un angolo qualsiasi nel piano perpendicolare all’asse di rotazione. In base alle regole, si assume il caso peggiore: l’oscillazione dell’albero e lo scostamento massimo nella realizzazione del foro si sommano nella stessa direzione.
Il rotore, nei piani in cui sono montati i cuscinetti, ruota rispetto all’asse di rotazione effettivo 1. L’asse geometrico dell’estremità dell’albero del rotore è l’asse 3. L’asse centrale principale di inerzia del disco di accoppiamento, insieme al baricentro c2, è l’asse 2.
Eccentricità della posizione del baricentro del disco della frizione risultante dall’oscillazione trasversale dell’albero:
𝑒𝑒$ = 𝑊𝑊 2 = 0,024 2 = 0,012 𝑚𝑚𝑚𝑚= 12 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Eccentricità derivante dalla realizzazione dell’albero al di sotto del valore nominale e del foro con scostamento superiore:
𝑒𝑒& = ∅'() −𝑑𝑑* 2 = 35.025 −34.984 2 = 0,0205 𝑚𝑚𝑚𝑚= 20,5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Eccentricità totale del montaggio del disco frizione sull’albero del rotore:
𝑒𝑒+,’ = 𝑒𝑒$ + 𝑒𝑒& = 0,012 + 0,0205 = 0,0325 𝑚𝑚𝑚𝑚= 32,5 𝜇𝜇𝜇𝜇.
Eccentricità derivante dal fissaggio fuori centro del disco frizione:
𝑁𝑁7 = 𝑀𝑀$ ∙𝑒𝑒+,’ = 60 ∙10& ∙0,0325 = 1950 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔.
Forza dovuta all’eccentricità del disco della frizione
La forza F3 è determinata dalla relazione:
𝐹𝐹/,) = 𝑁𝑁E ∙𝜔𝜔« = 𝑀𝑀»𝑒𝑒’0&𝜔𝜔» = 6 ∙102 ∙0,0325 ∙d3,14 ∙2900 La forza effettiva sul cuscinetto B, utilizzando l’equazione della somma dei momenti rispetto, ad esempio, al punto A indicato nella figura 1, è:
𝐹𝐹/ = 215,5 𝑁𝑁 Nel caso in cui, dopo il processo di produzione del rotore e prima dell’equilibratura, il suo squilibrio corrisponda alla classe di precisione di equilibratura G40, con distribuzione uniforme del carico del cuscinetto dovuto al peso del rotore si ottengono i seguenti valori delle forze componenti che gravano sul cuscinetto B:
Tabella 1. Forze agenti sul cuscinetto B a n = 2900 o br/min e squilibrio iniziale G40.
= 179,6 𝑁𝑁 30 e G40 n = 2900 rpm F1 = 2452 N F2 = 3017 N F3 = 215,5 N Nella scelta dei cuscinetti a catalogo, ad esempio SKF, in condizioni di carico rotante, occorre determinare il valore del fattore di variazione del carico e inserirlo nell’equazione per determinare il carico medio:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/)
Scelta del cuscinetto: il coefficiente fm
Per determinare questo coefficiente, si tracci la funzione r𝑓𝑓& di variazione del parametro in funzione dei valori delle forze rotanti F2 e F3, Diagramma 1².
Per determinare il valore del coefficiente fm, eseguire un calcolo ausiliario:
𝐹𝐹! 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/ = 2452 2452 + 3017 + 215 = 0,43 𝑓 Per il valore calcolato, rilevato dal diagramma 1 del catalogo: fm = 0,77.
² Catalogo dei cuscinetti a rulli r𝑓𝑓& 𝐹 Per questo valore fm, il carico medio del cuscinetto, secondo il catalogo, è:
𝐹𝐹& = 𝑓𝑓&(𝐹𝐹! + 𝐹𝐹" + 𝐹𝐹/) = 0,77(2452 + 3017 + 215) = 4376 𝑁𝑁 𝑁(2)
Ipotesi per la durata dei cuscinetti richiesta
Ipotesi sulla durata dei cuscinetti richiesta:
a) le forze che agiscono sul cuscinetto hanno direzione radiale, da cui il carico dinamico equivalente è: P = Fm,
b) si assume che il cuscinetto debba funzionare per ore.
Utilizzando il diagramma per il calcolo dei cuscinetti, è possibile verificare l’effetto del valore delle forze laterali:
c) si assume che il cuscinetto debba funzionare per Lh = 10.000 ore
d) la riduzione della durata di esercizio del cuscinetto utilizzato a causa di ulteriori forze rotanti.
Per quanto riguarda il punto c., selezionare un cuscinetto individuando la portata dinamica nominale C.
Alcune note sulla costruzione dei nomogrammi.
Come vengono costruiti i nomogrammi
I nomogrammi sono stati sviluppati quando i progettisti di rotori utilizzavano semplici strumenti di calcolo. La loro importanza attuale consiste principalmente in una buona visualizzazione del processo di scelta del cuscinetto.
Il termine nomogrammi è usato al plurale perché l’allineamento verticale degli assi P[N] e C[N] rispetto agli altri assi può risultare leggermente spostato nei grafici realizzati da diversi produttori di cuscinetti. Dipende dalle prestazioni ottenute dal cuscinetto. Gli assi Lh[h], L[mln rpm.] e n[rpm] sono legati tra loro in modo univoco dalla cinematica del rotore. Ad esempio: in 100 ore di funzionamento a 2500 rpm, il rotore compirà 100•2500•60=15 milioni di giri. Questi tre assi sono disposti l’uno rispetto agli altri in modo tale che qualsiasi retta che congiunga i giri selezionati con il numero ipotizzato di ore di funzionamento senza guasti del cuscinetto fornisca il risultato corretto della moltiplicazione di cui sopra sull’asse L[mln rpm].
La posizione e le scale degli altri assi derivano dalle prestazioni dei cuscinetti del rispettivo produttore. Sono collocati e dilatati, lungo la loro lunghezza, in modo tale che un’altra retta, passante per il punto determinato in precedenza sull’asse L[milioni di rpm], colleghi il valore delle forze laterali totali nel cuscinetto, riportato sull’asse P, con il valore determinato di C che stabilisce la scelta della dimensione del cuscinetto³.
L’adozione di una scala logaritmica riduce la lunghezza degli assi.
Nel nomogramma 1, la retta 1 è una retta ausiliaria che, per il numero ipotizzato di ore di funzionamento Lh e per la velocità del rotore specificata n=2900 rpm, in base al ³ catalogo dei cuscinetti a rulli, determina sull’asse L il numero che indica i giri, espressi in milioni, compiuti nel tempo ipotizzato. La retta 2, che interseca il punto determinato sull’asse L e passa al tempo stesso per il punto che indica il carico statico del cuscinetto (2452 N), determina all’altra estremità la portata statica nominale richiesta del cuscinetto C. In questo caso è pari a circa 32 kN. Questa è la portata nel caso statico.
La retta 3, che passa per il punto determinato dalla retta 1 sull’asse L e per il punto che determina il carico statico e dinamico totale Fm = P, riportato nell’equazione (2) e pari a 4376 N, determina la nuova portata dinamica nominale richiesta del cuscinetto. Qui ammonta a circa 54 kN.
Nomogramma 1. Scelta della capacità dinamica nominale C del cuscinetto per il numero di ore di funzionamento Lh ipotizzato e il carico dinamico equivalente P.
Conclusione: aggiungendo alle forze derivanti dal peso del rotore quelle derivanti dallo squilibrio iniziale del rotore e dallo squilibrio causato dall’eccentricità del fissaggio del disco di accoppiamento all’albero, la portata nominale richiesta del cuscinetto C, determinata per le forze statiche, è aumentata di circa il 67%. La presenza dello squilibrio sul Nomogramma 1.
il rotore le applica un carico supplementare in misura non trascurabile rispetto ai dati accettati. Il carico delle forze rotanti può causare il sovraccarico e la distruzione del cuscinetto. Ne riduce inoltre la durata di vita senza guasti.
Ricalcolo della durata dei cuscinetti con forze aggiuntive
Ad d. Determinazione della nuova durata di funzionamento Lh per il cuscinetto applicato, caricato con le forze rotanti aggiuntive F2 e F3, in corrispondenza della capacità dinamica nominale del cuscinetto C ipotizzata.
Nel nomogramma 2, le rette 1 e 2 determinano gli stessi valori del nomogramma 1.
La retta 3 viene tracciata in modo diverso. Lo scopo della procedura è determinare una diversa durata nominale L, misurata in milioni di giri, del cuscinetto selezionato caricato con forze rotanti oltre che con forze statiche. La retta collega il valore complessivo di tutte le forze, statiche e rotanti, convertito in un valore medio di Fm = 4376 N, con la portata nominale C determinata in precedenza solo per il carico statico. Questa retta sull’asse L determina il nuovo valore del numero di giri, espresso in milioni di giri. La retta 4, che collega questo nuovo valore sull’asse L con il numero di giri al minuto ipotizzato in precedenza, determina sull’asse Lh il nuovo numero di ore di funzionamento del cuscinetto senza guasti.
Nomogramma 2. Determinazione della nuova durata di funzionamento Lh per il cuscinetto applicato, caricato con le forze rotanti aggiuntive F2 e F3, in corrispondenza della capacità dinamica nominale del cuscinetto C ipotizzata.
Conclusione: per effetto della comparsa di forze rotanti aggiuntive dovute allo squilibrio del rotore e dell’elemento di accoppiamento, la durata di funzionamento senza guasti è diminuita rispetto al Nomogramma 2.
10.000 ore, con il rotore equilibrato e l’accoppiamento riequilibrato dopo il montaggio sull’albero, a circa 2000 ore con il rotore e l’accoppiamento squilibrati.
Scegliere un cuscinetto di dimensioni maggiori, la cui portata dinamica nominale C gli consenta di sostenere il carico dovuto allo squilibrio, non risolve il problema. Aumenterebbe le dimensioni della maggior parte dei componenti rotanti. Ciò aumenterebbe anche il loro squilibrio iniziale, dovuto alle precisioni attualmente adottate nella produzione. Una soluzione efficace è l’equilibratura.
