不平衡的概念既适用于刚性转子，也适用于柔性转子。在刚性转子上，初始不平衡在整个转速变化范围内保持不变。在柔性转子上，它是可变的，取决于旋转转速。
在刚性转子上，不平衡的分量为：
a) uncompensated and redundant single or continuously extended, along the length, elements of the rotor material that have mass and are seated at a certain radius relative to the rotation (or vice versa: uncompensated cavities in the rotor material lying away from the axis of rotation);
b) 位于相对于旋转轴的指定半径处的转子材料的未补偿元素对，在包含旋转轴的平面内产生力矩。
在初始不平衡中，除了刚性转子上存在的分量外，还可能存在初始挠度，其半径在整个旋转范围内保持不变。
在柔性转子上，不平衡的分量为：
a) 前面列出的两个分量，
b) 由挠度产生，取决于转子的瞬时旋转速度，因此取决于转子各单位长度距旋转轴的距离。
不平衡作为状态和物理量
不平衡可视为一种状态，也可视为由 SI 单位导出的物理量。不平衡状态是指旋转运动中机械系统受力和力矩加载的一种形式。该加载直接由转子质量围绕实际旋转轴的分布所引起，这种分布在支撑件（转子的约束）上产生变化的力，并导致转子产生额外弯曲。该加载状态具有确定的特征，影响该系统的行为。不平衡的特征是仅存在力、仅存在力矩或两者的混合。同样，它使转子获得某些动态参数，例如与刚性转子运动第一阶固有模式相关的参数，或柔性转子的挠度。
从运动静力学的角度分析不平衡状态，我们发现它可以通过两种方式确定：
a) by means of principal vectors fixed at the rotor’s center of gravity or other selected point through determining the principal force vector and the principal moment vector from the unbalance;
b) 或通过两个力矢量表示，这两个矢量在数值和方向上不同，位于沿旋转轴相距较远的两个平面内。
主力矢量是不平衡状态的不变量，而主力矩的值和方向取决于参考点的选择。位于两个测量平面中的两个力的值和方向取决于这些平面的位置。
不平衡术语综述
不平衡术语回顾 作为物理量的不平衡是质量与距旋转轴距离的乘积。以下是对各种不平衡术语及其后续定义的审视。
• 不平衡矢量：一个矢量，其长度对应于不平衡值，其作用方向与不平衡质量的角位置一致。
𝑁𝑁"#⃗= 𝑚𝑚∙𝑟𝑟⃗ [𝑔𝑔∙𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝜑𝜑] • 不平衡值：不平衡的量化值，不考虑作用角度，为不平衡质量与其质心距实际旋转轴距离的乘积。
𝑁𝑁" = 𝑚𝑚∙𝑟𝑟 [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] 𝑚𝑚! [𝑔𝑔] • 不平衡质量：指定为的质量，在转子上的某个半径处（约定质量）进行心理固定，使得其值乘以旋转频率的平方和半径将给出不平衡产生的力的值。
• 不平衡主矢量：由沿转子整个长度产生的所有单位力几何相加而成。该矢量等于转子质量与其重心偏心距的乘积。它垂直于转子轴，通过其重心或旋转轴上的另一选定点。
• 不平衡力矩：不平衡与其作用臂 𝑑𝑑 的矢量积。该矢量垂直于由转子轴和不平衡矢量确定的平面。不平衡矢量的模等于不平衡值与不平衡矢量到垂直于计算力矩所针对轴的平面的距离的乘积。
[𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚"] • 不平衡主力矩：相对于转子重心或其他选定点计算的所有不平衡力矩的几何和。该矢量同时垂直于转子的主惯性轴。
• 静不平衡：实际旋转轴与转子的主中心惯性轴平行的不平衡状态。转子的重心（重力中心）相对于实际旋转轴偏心位置。在静不平衡情况下，力矩主矢量为零，力主矢量具有有限值。
• 力矩不平衡：一种不平衡状态，其中实际旋转轴与转子质心处的主惯性轴以某个角度相交。在这种不平衡情况下，主力矢量为零，而主力矩具有有限值。质心位于实际旋转轴上。
• 准静态不平衡：一种不平衡状态，其主惯性轴与实际旋转轴在质心之外相交。此外，主力矩矢量垂直于由上述两轴确定的平面的垂直性条件仍然满足。
• 刚性转子的动不平衡：通常指包含力和力矩分量的不平衡状态。在这种情况下，实际旋转轴与主中心惯性轴相交成一定角度。如果不平衡用主矢量和作用在转子重心处的主力矩表示，这两个矢量之间成一定角度。如果不平衡以两个力矢量的形式表示，这两个力矢量分别位于沿转子长度间隔开的两个修正平面中，则这些矢量的大小不同，作用角度也不同。
• 刚性转子的初始不平衡：动平衡前转子上存在的不平衡状态。可能包括不平衡的力和力矩分量。
• 可接受的残余不平衡：动平衡过程后转子上存在的不平衡状态，符合转子的设计条件。
不平衡作为转子上的强制分量
不平衡分量产生的力对转子是激励力。刚性转子不显示沿其长度的何处以及以何角度产生力。可以得出结论，转子在旋转过程中观察到的行为是由不平衡产生的所有分量力之和的作用引起的。这是因为转子是刚性的，通过重心的线性运动和围绕该重心的旋转来响应整个加载。为了进行动平衡，应建立相应的不平衡转子模型。该模型应与动平衡方法相兼容。
如果在动平衡过程中我们想要消除或最小化上述不平衡分量，则必须采用两个校正平面。它们应沿转子长度方向尽可能远地分开。两个平面不仅可以改变力，还可以改变力矩。
刚性转子不平衡的转速依赖性
刚性转子的不平衡在改变转速时不会改变。改变支撑位置后，如果转子表现出恒定挠度或转子轴在其截面之间具有径向跳动，则可能改变。例如，如果在一个安装处未进行加工，就可能发生这种情况。
在平衡刚性转子时，我们不知道沿转子轴线的不平衡分布这一事实无关紧要。动平衡机在测量刚性转子的不平衡时，计算两个“合力”，其值和方向既取决于作用在垂直于转子轴的不同平面上的所有未识别的力，也取决于为测量和修正而选择的修正平面沿该轴的位置。计算得出的不平衡值在转速变化时不会改变其大小或方向，尽管动平衡机的指示通常会变化。计算结果的恒定性由采用适合所选转速和修正平面位置的校准系数来保证。
计算得出的不平衡值在转速变化时不会改变其大小和方向，尽管动平衡机的指示通常会变化。计算结果的恒定性由采用适合所选转速和修正平面位置的校准系数来保证。在确定这些系数时，转子的动态特性（即其质量及沿其长度理想补偿的分布）至关重要。还需补充说明的是，由于超临界动平衡机中按第一和第二种振动形式进行的分量运动之和不同，不同转速下的激励也不同。在这种情况下，支撑振动系统由跨越转子、支撑元件甚至机床部分的未知质量组成。这些可称为等效质量。
我们无法识别这些质量，也无法轻易识别。
在亚临界动平衡机上，无论不平衡的恒定性如何，当改变测量转速和测量平面位置时，指示值也会改变。修正平面位置的改变由机器自动考虑，通过在测量模块键盘上输入这些平面沿转子长度的新位置数据。校准系数的构建方式不同。实际上，它们不取决于转子的动态特性。它们仅直接与转速成正比（即易于计算）。在计算不平衡时，根据运动静力学原理使用转子的几何依赖关系及其支撑位置。
柔性转子的动平衡
在某一转速下平衡的柔性转子在任何其他转速下都不平衡。问题随之产生：柔性转子能否平衡至零？答案是无法平衡至零，但可以实际最小化不平衡对挠度的影响，使得在使用的转速范围内，挠度不会超过可接受的限值。实际上，最小化前两种（特殊情况下为三种）挠度形式至关重要。随着转速增加，不平衡分量（包括静不平衡、力矩不平衡和混合不平衡）对挠度的影响逐渐显现。这些分量中的每一个都在特定转速下引发共振。
分配到两个校正平面
图 1 显示了质量不同且位于转子上任意位置的冗余配重。它们使转子受到惯性力的作用。可能存在任意数量的此类配重产生不平衡的惯性力。这个数量或配重的位置在识别过程中是未知的。
在刚性转子上，任何惯性力都被替换为发生在两个校正平面中的两个力。在图中，例如，这些是与载荷相关的力。其他力以相同的方式被替换。
力分解为两个分量遵循运动静力学原理（可通过求解两个静力学方程组来完成：沿其作用方向的力之和，以及相对于例如其中一个修正平面的力矩之和）。假设转子上的两个修正平面中的超质量数量相同。在每个平面中，分别将分量力相加得到合力。在动平衡过程中，只需在转子的每一侧添加一个配重（以修正配重的形式），产生与合力相反的惯性力。如果合力与修正力之和接近零，则转子达到平衡。实际上，残余 𝑚𝑚!"
𝐵𝐵$!# 𝐵𝐵$!"
𝐵𝐵## 𝐵𝐵"# 𝑚𝑚!# 不平衡仍然存在。为使动平衡被认为有效，残余不平衡必须小于可接受值。
这是展示不平衡对转子强制效应的主要方式。
主矢量和主力矩
图 2 显示了相同的不平衡，但以所谓的主不平衡矢量和主不平衡力矩的形式表示。在这种情况下，输出是在两个校正平面中确定的合力矢量。
𝐵𝐵%# 𝐵𝐵%"
将两个矢量平行移动到一个公共点（如重心），从它们获得合力。其方向和合力的长度不取决于沿转子长度的点的位置。因此，不平衡产生的合力是一个载荷不变量。
𝐵𝐵% 移动应进行，使得转子在移动前后的加载相同。为了抵消移动的力对转子的影响，转子必须受到额外的力矩加载。当力试图使转子围绕通过点 0 的轴旋转时，力矩必须试图以相同方式使转子旋转。该值由矢量积导出。力矩矢量的方向垂直于两个矢量所在的平面，其转向遵循右手螺旋规则。
𝐵𝐵%# 𝑀𝑀##⃗(𝐵𝐵%#) = 𝐵𝐵#⃗%# × 𝑏𝑏#⃗ 这里，主力矩有两个分量，来自两个力的位移。当您选择位于几何轴上的另一点时，力矩分量将改变。不平衡的主力矩不是载荷的不变量。
不平衡作为校正负荷的静力矩
不平衡作为物理量是修正加载的静力矩。换言之，它是超质量与该质量重心到实际旋转轴的距离的乘积。在动平衡前后，我们都不知道圆度缺陷的位置。假设任何圆度缺陷的形式为超质量 𝑚𝑚，其位于圆盘边缘或转子轴的直径上。
𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
𝑁𝑁" = 𝑚𝑚! ∙𝑟𝑟 [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] 圆盘的静不平衡为：
.
重心的位移为：𝑒𝑒= ()$! ≅ $!∙' $!∙'
( [m] 该值通过计算多余质量（在转子半径 r 处）的静力矩与总质量（在偏心距 e 处）的平衡来得出。
惯性轴和惯性椭球体
为了分析和计算具有质量的转子的运动，引入了惯性轴、质量惯性矩和惯性椭球体的概念。惯性椭球体是使用三条相互垂直的轴构建的。在每个方向上计算所谓的质量惯性矩，用于描述转子的质量分布。在所有作用于任何方向的位置中，我们区分在特定方向上作用的惯性轴。这些既是主轴又是中心轴，或仅是主轴。
主轴具有这样的方向，相对于转子，其质量惯性矩取得极值。如果它们另外通过重心，则称为主中心轴。主中心轴值之和始终最小（由于 Steiner 定理产生的力矩相加）。取惯性矩的极值意味着一个力矩具有最大值（始终按采用的程序计算），另一个具有可能计算的最小值，第三个具有中间值。当转子的实际旋转轴与其中一条主中心惯性轴重合时，转子不受任何未补偿惯性力的加载。
其上没有不平衡。我们注意到，在主方向上（相对于转子质量的中心位置），位于旋转轴一侧的所有质量细节在旋转轴的对侧都有其对应物。
如果旋转轴与主惯性轴不平行，但在质心处相交，则产生力矩不平衡。如果它们在另一点相交或相对于彼此呈斜交，则同时产生力不平衡和力矩不平衡。当它们平行时，仅产生力不平衡。
图 4 中所示的主惯性轴和中心惯性轴命名为：1 和 2。它们在重心 c 处相交，因此存在来自未补偿惯性力的力矩。
角安装误差的两种情况
我们将考虑两种情况：
a) 与轴相连的旋转薄圆盘，其厚度可忽略不计，存在角度误差
b) 旋转转子，长度为 L，固定在轴承中，使其主惯性轴与旋转轴在其质心处相交。如果我们假设圆盘的质量为 m，直径为 D，并附着在具有轴向跳动 W 的无质量轴上，其载荷是一对惯性力。
# where:
$ 并对护罩产生矫直效应。
这是圆盘一半产生的合力。它代替了圆盘一半上存在的所有惯性力。由于力的幅值与距旋转轴的距离成正比，圆盘一半的合力位置不在该圆盘一半的质心处。
顺便说一下，请回想圆盘一半的重心位于将圆盘分成两半的直径外 0.2122D 处。
F0% r1& = 0,2945D𝑀𝑚𝜔𝐷 该力作用在距离处：
.
圆盘的矫直力矩为：。
该力矩将在轴的支座中产生反作用力：
因此支撑处的力为：
长度为 L 的转子固定在轴承中，使其主中心惯性轴 1 在重心 c 处与旋转轴成角度 α 相交。安装误差也可以测量为转子两侧的径向跳动 W。在这种情况下，跳动值相等（最大值相对彼此角度位移 180°）。
= /, 𝛼𝛼= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎sin H /I 。
.
𝑅𝑅= # 转子受到来自未补偿惯性力的力矩。
例如，可以通过想象它由多个圆盘组成（如图 4 所示）来计算这些力。中心圆盘上的加载如图 5 所示。每个不同的圆盘另外由其重心 𝑒𝑒 相对于旋转轴的偏心位置产生的力矩加载。考虑到这两个分量，力矩值可从通过求和上述加载分量形成的方程计算：
𝑀𝑀+ = 𝑚𝑚𝜔𝜔" sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼H 其中：m - 质量 [kg]，D - 转子直径 [m]，L - 长度 [m]，ω - 由转子旋转产生的频率。
在上述方程中，我们注意到对于特定的 D 和 L 值，无论轴两端的径向跳动值如何，整个转子的力矩均为零。
让我们检查这个条件，在该条件下不会产生力矩：
𝐿𝐿= √3 我们还注意到，对于转子长径比 ，诱导力矩不平衡的符号会改变。
𝐹𝐹*)
#3 𝐷𝐷” − #” 𝐿𝐿”I (4), # # 6X W# #3 𝐷𝐷” = #” 𝐿𝐿”, # # 2 𝐷𝐷= 0,866𝐷𝐷.
/ = √8 ” , This means that for we attach / > √8 correction weights on the “light” side and for on the “heavy” side at the ends of the rotor. This is shown in Figure 6.
𝑀𝑀+]𝑚𝑚!,#)"^ = 2𝑀𝑀+]𝑚𝑚!,#^ = 1 将方程 (4) 中的总力矩与上述结果进行比较，可以在不依赖角度值的情况下确定其质量：
𝑚𝑚! = 5$ 𝑚𝑚H # / > √8 “
“
𝑚𝑚!
2 𝑚𝑚!𝜔𝜔“𝐿𝐿” sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼 𝛼[𝑁𝑁𝑁𝑁]。
φ#3 𝐷𝐷“ − #” 𝐿𝐿”I𝑚𝐿 [𝑘𝑘𝑘𝑘]。
“
# Thus, the expression shown is an invariant of the rotor, which has a certain slenderness, that is, the ratio of diameter to length. The value of the mass , calculated in this way, and seated at a distance (t) from the actual axis of rotation, does not depend on the angular error α of the foundation of the rotor when the load is fixed at a distance (t) from the actual axis of rotation (Figure 5). It indicates the phase of foundation of the load on the “light” or “heavy” side of the rotor.
𝑚𝑚!
校正配重和支撑力
实际意义在于比较由校正配重的基础引起的惯性力力矩（位于转子的两端）与其直径的关系，与方程 (4) 中确定的力矩的关系：
𝑚𝑚!𝜔𝜔“ 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝜔𝜔” sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷“ −1 12 𝐿𝐿”` (5)，其中方程左侧是根据 的定义计算的惯性力。
因此，单个校正配重的质量为：
𝑚𝑚! = 2𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 如果配重之间的距离为 L，且配重位于半径 D/2 处，则力矩不平衡的定义为：
𝑁𝑁"(9$ = 𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
16 𝐷𝐷“ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘]。
𝐷𝐷 2 𝐿𝐿 [𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚"]。
当角度 α 取较小值时，可以充分准确地假设：
sin 𝛼𝛼= 𝛼𝛼 [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟]，cos 𝛼𝛼= 1 该关系简化为：
𝑚𝑚! = 2𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷“ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘]，𝛼𝛼→ [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟]，𝐷𝐷，𝐿𝐿→[𝑚𝑚]，𝑚𝑚→[𝑘𝑘𝑘𝑘]。
其中：
同样实用的是确定转子两个支撑处发生的力值，我们使用由支撑反力和在方程 (4) 中确定的力矩平衡：
𝑅𝑅𝐿𝐿4 = 𝑚𝑚𝜔𝜔“ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿”`。
因此，支撑处的力为：
𝑅𝑅= 1 𝑚𝑚𝜔𝜔“ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿“` c𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚 𝑠𝑠” e →[𝑁𝑁] 𝐿𝐿4 或简化后：
𝑅𝑅= 1 𝑚𝑚𝜔𝜔“𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿”`, 𝐿𝐿4 𝛼𝛼→[𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟]，，𝐷𝐷，𝐿𝐿4 →[𝑚𝑚]，𝑚𝑚→[𝑘𝑘𝑘𝑘]。
其中：
两个支座中由转子产生的力矩引起的力，无论转子在支座之间的位置如何，其值都相同。
使用确定的力值，可以确定校正配重的质量，这些配重应沿支撑宽度安装，必须与转子一起在半径 ／ 处旋转：
𝑚𝑚:9′ = 2𝑅𝑅 𝜔𝜔"𝐷𝐷= 2 𝐿𝐿4，如果配重之间的距离为 ，则力矩不平衡为：
𝑁𝑁”;<= = 𝑚𝑚:9′
总结
- 不平衡可以被视为外部载荷的一种状态，是转子旋转时的载荷。这种载荷有两个分量：静态分量，以离心力的形式存在；动态分量，以力矩的形式存在，作用在包含旋转轴的平面内。
- 刚性转子的不平衡可包含上述两个不平衡分量。柔性转子的不平衡另外包含沿转子整个长度分布的不平衡，该不平衡由挠度产生，由转子单位长度的质量与其到旋转轴的距离的乘积构成。挠度可以是空间的。
- 刚性转子的不平衡不取决于转子速度。
- 𝑚𝑚:9'𝜔𝜔“ 𝐷𝐷 2 = 𝑅𝑅, 𝑚𝑚𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿“` f𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚”
- 𝑚𝑚" g →[𝑘𝑘𝑘𝑘]。
- 𝐷𝐷𝐷𝐷4 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿4 = 𝑚𝑚𝑚𝑚_ 1 16 𝐷𝐷“ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚”]。
- 柔性转子的不平衡取决于转速。
- 刚性转子的不平衡可以用所谓的主不平衡矢量和主不平衡力矩表示，或用两个不平衡矢量或惯性力表示，这些矢量沿转子长度方向相互偏移，长度不同，作用方向也不同。
- 静不平衡通常以以下单位测量 或 它是位于距旋转轴距离 r 处的多余质量乘以该距离的结果。
- 𝑚𝑚!,
- 力矩不平衡通常以以下单位测量 或 因为它由沿转子长度分布的静不平衡对组成。
- / > 0,866,
- 对于长径比，力矩的作用方向从纠正变为扩大力矩不平衡。Mirosław Malec 博士，工程师，Cimat Sp. z o.o. 公司前总裁。
- [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘]。
- [𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚“]𝑘𝑘𝑘𝑘𝑟 [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚”]，
