Pojęcie niewyważenia odnosi się zarówno do wirników sztywnych, jak i podatnych. W wirowniku sztywnym niewyważenie początkowe jest stałe w całym zakresie zmienności prędkości. W wirniku podatnym jest ono zmienne i zależy od prędkości obrotowej.
Na sztywnym wirniku składowe niewyważenia to:
a) uncompensated and redundant single or continuously extended, along the length, elements of the rotor material that have mass and are seated at a certain radius relative to the rotation (or vice versa: uncompensated cavities in the rotor material lying away from the axis of rotation);
b) pary niezrównoważonych elementów materiału wirnika osadzonych na określonym promieniu względem osi obrotu, wytwarzających moment obrotowy w płaszczyźnie zawierającej oś obrotu.
W niewyważeniu początkowym, oprócz składowych występujących w sztywnych wirnikach, może pojawić się również ugięcie początkowe, którego promień jest stały w całym zakresie prędkości obrotowej.
Na elastycznym wirniku składowe niewyważenia to:
a) obie wymienione powyżej składowe,
b) wynikające z ugięcia, zależne od chwilowej prędkości obrotowej, a tym samym od odległości poszczególnych jednostkowych długości wirnika od osi obrotu.
Niewyważenie jako stan i jako wielkość fizyczna
Niewyważenie można rozpatrywać jako stan lub jako wielkość fizyczną wywodzoną z jednostek SI. Stan niewyważenia rozumiany jest jako rodzaj obciążenia siłami i momentami układu mechanicznego w ruchu obrotowym. Obciążenie jest bezpośrednio spowodowane takim rozkładem masy wirnika wokół rzeczywistej osi obrotu, który wywołuje zmienne siły na podporach (stanowiących więzy dla wirnika) i powoduje dodatkowe ugięcie wirników. Stan obciążenia ma określone właściwości i wpływa na zachowanie tego układu. Cechą charakterystyczną niewyważenia jest obecność wyłącznie sił, wyłącznie momentów lub mieszaniny obu tych wielkości fizycznych. Niewyważenie powoduje również, że wirnik uzyskuje określone parametry dynamiczne, takie jak te związane z pierwszą postacią własną ruchu sztywnego wirnika lub ugięciem wirnika podatnego.
Analizując stan niewyważenia z punktu widzenia kinetostatyki, stwierdzamy, że można go wyznaczyć na dwa sposoby:
a) za pomocą wektorów głównych przyłożonych w środku ciężkości wirnika lub w innym wybranym punkcie, poprzez wyznaczenie głównego wektora sił i głównego wektora momentu z niewyważenia;
b) lub za pomocą dwóch wektorów sił, różniących się wartością i kierunkiem, leżących w dwóch płaszczyznach oddalonych od siebie wzdłuż osi obrotu.
Główny wektor sił jest niezmiennikiem stanu niewyważenia, natomiast wartość i kierunek momentu głównego zależą od wyboru punktu odniesienia. Wartości i kierunki dwóch sił działających w dwóch płaszczyznach pomiarowych zależą od położenia tych płaszczyzn.
Przegląd terminologii dotyczącej niewyważenia
Przegląd terminologii niewyważenia. Niewyważenie jako wielkość fizyczna jest iloczynem masy i odległości od osi obrotu. Poniżej omówiono różne pojęcia związane z niewyważeniem oraz ich definicje.
• Wektor niewyważenia: wektor, którego długość odpowiada wartości niewyważenia, a kierunek działania jest zgodny z kątowym położeniem masy niewyważonej.
𝑁𝑁"#⃗= 𝑚𝑚∙𝑟𝑟⃗ [𝑔𝑔∙𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝜑𝜑] • Wartość niewyważenia: niewyważenie skwantyfikowane, bez uwzględnienia kąta działania, jako iloczyn masy niewyważonej i odległości jej środka masy od rzeczywistej osi obrotu.
𝑁𝑁" = 𝑚𝑚∙𝑟𝑟 [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] 𝑚𝑚! [𝑔𝑔] • Masa niewyważenia: masa oznaczona jako , która jest myślowo umieszczona na określonym promieniu (masa umowna) na wirniku w taki sposób, że jej wartość pomnożona przez kwadrat częstotliwości obrotowej i promień daje wartość siły od niewyważenia.
• Wektor główny niewyważenia: tworzony przez geometryczne sumowanie wszystkich jednostkowych sił od niewyważenia występującego na całej długości wirnika. Wektor jest równy iloczynowi masy wirnika i mimośrodowości jego środka ciężkości. Jest prostopadły do osi wirnika i przechodzi przez jego środek ciężkości lub inny wybrany punkt na osi obrotu.
• Moment niewyważenia: iloczyn wektorowy niewyważenia i ramienia jego działania. Wektor jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez oś wirnika i wektor niewyważenia. Moduł wektora niewyważenia jest równy iloczynowi wartości niewyważenia i odległości wektora niewyważenia od płaszczyzny prostopadłej do osi, względem której obliczany jest moment.
[𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚"] • Główny moment niewyważenia: geometryczna suma wszystkich momentów niewyważenia obliczona względem środka ciężkości wirnika lub innego wybranego punktu. Wektor ten jest jednocześnie prostopadły do głównej, centralnej osi bezwładności wirnika.
• Niewyważenie statyczne: stan niewyważenia, w którym rzeczywista oś obrotu i główna, centralna oś bezwładności wirnika są równoległe. Środek masy wirnika (środek ciężkości) jest mimośrodowo położony względem rzeczywistej osi obrotu. Przy niewyważeniu statycznym momentowy wektor główny wynosi zero, a siłowy wektor główny ma skończoną wartość.
• Niewyważenie momentowe: stan niewyważenia, w którym rzeczywista oś obrotu i główna, centralna oś bezwładności przecinają się pod pewnym kątem w środku masy wirnika. Przy takim niewyważeniu siłowy wektor główny wynosi zero, a moment główny ma skończoną wartość. Środek masy leży na rzeczywistej osi obrotu.
• Niewyważenie quasi-statyczne: stan niewyważenia, przy którym jego główna, centralna oś bezwładności przecina rzeczywistą oś obrotu poza środkiem masy. Spełniony jest przy tym warunek prostopadłości głównego wektora momentowego do płaszczyzny wyznaczonej przez obie wymienione osie.
• Niewyważenie dynamiczne sztywnego wirnika: zwyczajowo określane jako stan niewyważenia zawierający zarówno składową siłową, jak i momentową. W tym stanie rzeczywista oś obrotu i główna, centralna oś bezwładności są względem siebie skośne. Jeśli niewyważenie jest reprezentowane przez wektor główny i moment główny, przyłożone w środku ciężkości wirnika, oba wektory są nachylone do siebie pod określonym kątem. Jeśli niewyważenie jest przedstawione w postaci dwóch wektorów sił umieszczonych w dwóch płaszczyznach korekcji rozmieszczonych wzdłuż długości wirnika, wektory te mają różne długości i działają pod różnymi kątami.
• Niewyważenie początkowe sztywnego wirnika: stan niewyważenia istniejący na wirniku przed wyważaniem. Może obejmować zarówno składową siłową, jak i momentową niewyważenia.
• Dopuszczalne niewyważenie szczątkowe: stan niewyważenia istniejący na wirniku po zakończeniu procesu wyważania, spełniający warunki projektowe wirnika.
Składowe niewyważenia jako siły wymuszające działające na wirnik
Składowe niewyważenia wytwarzają siły działające na wirnik. Sztywny wirnik nie ujawnia, w którym miejscu wzdłuż swojej długości i pod jakim kątem siły te są generowane. Można stwierdzić, że obserwowane zachowanie wirnika podczas obrotu wynika z działania sumy wszystkich składowych sił pochodzących od niewyważenia. Dzieje się tak dlatego, że wirnik jest sztywny i reaguje na całkowite obciążenie ruchem liniowym środka ciężkości oraz obrotem wokół tego środka. Na potrzeby wyważania należy opracować odpowiedni model niewyważonego wirnika, zgodny z zastosowaną metodą wyważania.
Jeśli w trakcie procesu wyważania chcemy wyeliminować lub zminimalizować powyższe składowe niewyważenia, należy przyjąć dwie płaszczyzny korekcji. Powinny być one rozmieszczone możliwie daleko od siebie wzdłuż długości wirnika. Dwie płaszczyzny umożliwiają zmianę nie tylko siły, lecz także momentu siły.
Zależność niewyważenia wirnika sztywnego od prędkości obrotowej
Niewyważenie sztywnego wirnika nie zmienia się wraz ze zmianą prędkości obrotowej. Po zmianie położenia podpór może się zmienić, jeśli wirnik wykazuje stałe ugięcie lub wał wirnika ma bicie promieniowe między swoimi odcinkami. Może to wystąpić na przykład wówczas, gdy nie był on obrabiany przy jednym zamocowaniu.
Przy wyważaniu wirników sztywnych fakt, że nie znamy rozkładu niewyważenia wzdłuż osi obrotu, nie ma znaczenia. Wyważarka, mierząc niewyważenie wirnika sztywnego, oblicza dwie „wypadkowe”, których wartości i kierunki zależą zarówno od wszystkich niezidentyfikowanych sił działających w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi wirnika, jak i od położenia płaszczyzn korekcji przyjętych do pomiaru i korekcji wzdłuż tej osi. Obliczone wartości niewyważenia nie zmieniają się co do wartości ani kierunku wraz ze zmianami prędkości, choć wskazania wyważarki zazwyczaj się różnią. Stałość wyników obliczeń jest zapewniona przez zastosowanie współczynników kalibracyjnych odpowiednich dla wybranej prędkości obrotowej oraz dla wybranych położeń płaszczyzn korekcji.
Obliczone wartości niewyważenia nie zmieniają się co do wartości i kierunku wraz ze zmianami prędkości obrotowej, choć wskazania wyważarki zazwyczaj się różnią. Stałość wyników obliczeń jest zapewniona przez zastosowanie współczynników kalibracyjnych odpowiednich dla wybranej prędkości obrotowej oraz dla wybranych położeń płaszczyzn korekcji. Przy wyznaczaniu tych współczynników istotne są właściwości dynamiczne wirnika, tj. wielkość jego masy oraz idealnie skompensowany rozkład tej masy wzdłuż jego długości. Można jedynie dodać, że wymuszenie dla różnych prędkości jest różne, ponieważ suma składowych ruchów realizowanych zgodnie z pierwszą i drugą postacią drgań w wyważarkach nadkrytycznych jest różna. Tam układy drgań podpór składają się z nieznanej ilości masy obejmującej wirnik, elementy podporowe, a nawet części łoża maszyny. Można je nazwać masami zastępczymi.
Mas tych nie identyfikujemy i nie jest to łatwe do wykonania.
W wyważarkach podkrytycznych wskazania zmieniają się również – niezależnie od stałości niewyważenia – gdy zmienia się prędkość pomiarowa oraz położenie płaszczyzn pomiarowych. Zmiana położenia płaszczyzn korekcji jest uwzględniana automatycznie przez maszynę poprzez wprowadzenie z klawiatury modułu pomiarowego danych o nowych położeniach tych płaszczyzn wzdłuż długości wirnika. Współczynniki kalibracji są tu wyznaczane w inny sposób. W istocie nie zależą one od właściwości dynamicznych wirnika, lecz wyłącznie wprost proporcjonalnie od prędkości obrotowej (a zatem są łatwe do obliczenia). Do obliczania niewyważenia wykorzystuje się zależności geometryczne wirnika i jego podparcia zgodnie z zasadami kinetostatyki.
Wyważanie wirnika elastycznego
Elastyczny wirnik wyważony przy określonej prędkości nie jest wyważony przy żadnej innej prędkości. Nasuwa się pytanie: czy elastyczny wirnik można wyważyć do zera? Odpowiedź brzmi: wyważenie do zera nie jest możliwe, można jednak w praktyce zminimalizować wpływ niewyważenia na ugięcia tak, aby przy stosowanych prędkościach obrotowych nie występowały ugięcia większe niż przyjęte jako dopuszczalne. W praktyce decydujące znaczenie ma minimalizacja pierwszych dwóch (w szczególnych przypadkach trzech) postaci ugięć. Wraz ze wzrostem prędkości obrotowej ujawnia się wpływ na ugięcie składowych niewyważenia (w tym niewyważenia statycznego, momentowego i mieszanego). Każda z tych składowych wymusza rezonans przy określonej prędkości obrotowej.
Rozkład na dwie płaszczyzny korekcji
Na rysunku 1 przedstawiono nadmiarowe masy o wartościach występujące w dowolnych miejscach na wirniku. Powodują one, że wirnik jest obciążony siłami bezwładności. Liczba takich mas generujących siły bezwładności od niewyważeń może być dowolna. Ich liczba ani rozmieszczenie nie będą znane na etapie identyfikacji.
Na sztywnym wirniku każda siła bezwładności jest zastępowana przez dwie siły działające w obu płaszczyznach korekcji. Na rysunku przykładowo są to siły odnoszące się do obciążenia . Pozostałe siły są zastępowane w ten sam sposób.
Rozkład siły na dwie składowe odbywa się zgodnie z zasadami kinetostatyki (można go przeprowadzić, rozwiązując układ dwóch równań statyki: sumy sił w kierunku ich działania oraz sumy momentów względem np. jednej z płaszczyzn korekcji). Przyjmuje się, że w obu płaszczyznach korekcji występuje tyle składowych sił, ile mas nadmiarowych znajduje się na wirniku. W każdej płaszczyźnie osobno składowe siły są sumowane do wypadkowych. W procesie wyważania wystarczy dodać po jednym ciężarze (w postaci ciężarków korekcyjnych) po każdej stronie wirnika jako przeciwciężary wytwarzające siły bezwładności przeciwne do wypadkowych. Jeśli suma sił wypadkowych i korekcyjnych jest bliska zeru, wirnik jest wyważony. W praktyce pozostałe 𝑚𝑚!"
𝐵𝐵$!# 𝐵𝐵$!"
𝐵𝐵## 𝐵𝐵"# 𝑚𝑚!# pozostaje niewyważenie. Aby wyważanie można było uznać za skuteczne, niewyważenie szczątkowe musi być mniejsze od dopuszczalnego.
Jest to podstawowy sposób przedstawienia siłowego oddziaływania niewyważenia na wirnik.
Wektor główny i moment główny
Rysunek 2 przedstawia to samo niewyważenie, lecz w postaci tzw. wektora głównego i momentu głównego niewyważenia. W tym przypadku wynikami są wektory sił wypadkowych wyznaczone w obu płaszczyznach korekcji.
𝐵𝐵%# 𝐵𝐵%"
Po przesunięciu równoległym obu wektorów do wspólnego punktu, np. środka ciężkości, wyznaczana jest ich wypadkowa. Jej kierunek i długość nie zależą od położenia tego punktu wzdłuż długości wirnika. Wypadkowa siła od niewyważenia jest zatem niezmiennikiem obciążenia.
𝐵𝐵% Przesunięcie należy wykonać tak, aby obciążenie wirnika przed przesunięciem i po nim było jednakowe. Aby skompensować wpływ przesuniętej siły na wirnik, należy obciążyć go dodatkowym momentem siły. Ponieważ siła dąży do obrotu wirnika wokół osi przechodzącej przez punkt 0, moment musi dążyć do obrotu wirnika w ten sam sposób. Wartość wynika z iloczynu wektorowego. . Kierunek wektora momentu jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą oba wektory, a jego zwrot jest zgodny z regułą prawej ręki.
𝐵𝐵%# 𝑀𝑀##⃗(𝐵𝐵%#) = 𝐵𝐵#⃗%# × 𝑏𝑏#⃗ W tym przypadku moment główny ma dwa składniki wynikające z przesunięcia dwóch sił. Po wybraniu innego punktu leżącego na osi geometrycznej składowe momentu ulegną zmianie. Główny moment niewyważenia nie jest niezmiennikiem obciążenia.
Niewyważenie jako moment statyczny masy korekcyjnej
Niewyważenie jako wielkość fizyczna jest momentem statycznym masy korekcyjnej. Innymi słowy, jest to iloczyn nadmiarowej masy i odległości środka tej masy od rzeczywistej osi obrotu. Zarówno przed wyważaniem, jak i po nim nie znamy lokalizacji braków okrągłości. Przyjmuje się, że każdy brak okrągłości ma postać nadmiarowej masy umieszczonej na krawędzi tarczy lub na średnicy wału wirnika.
𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
𝑁𝑁" = 𝑚𝑚! ∙𝑟𝑟 [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] Niewyważenie statyczne tarczy wynosi:
.
Przemieszczenie środka 𝑒𝑒= ()$! ≅ $!∙' $!∙' ciężkości wynosi:
( [m] Wartość tę oblicza się z równowagi momentów statycznych masy nadmiarowej osadzonej na promieniu wirnika (r) oraz masy całkowitej na mimośrodzie (e).
Osie bezwładności i elipsoida bezwładności
W celu analizy i obliczenia ruchu wirnika posiadającego masę wprowadzono pojęcia osi bezwładności, momentów masowych bezwładności oraz elipsoidy bezwładności. Elipsoidę bezwładności konstruuje się przy użyciu trzech wzajemnie prostopadłych osi. Dla każdego z tych kierunków obliczane są tzw. masowe momenty bezwładności, opisujące rozkład masy wirnika. Spośród wszystkich osi działających w dowolnych kierunkach wyróżnia się osie bezwładności działające w określonych kierunkach. Są to jednocześnie osie główne i centralne – i tylko takie osie są osiami głównymi.
Osie główne mają taki kierunek względem wirnika, że masowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne. Jeśli ponadto przechodzą przez środek ciężkości, nazywane są głównymi i centralnymi. Suma wartości głównych i centralnych jest zawsze najmniejsza (ze względu na dodawanie momentów wynikających z twierdzenia Steinera). Przyjęcie ekstremalnych wartości momentów bezwładności oznacza, że jeden moment ma wartość największą (zawsze wyznaczaną zgodnie z przyjętą procedurą), inny – możliwie najmniejszą do wyznaczenia, a trzeci – wartość pośrednią. Gdy rzeczywista oś obrotu wirnika pokrywa się z jedną z głównych i centralnych osi bezwładności, wirnik nie jest obciążony żadnymi niezrównoważonymi siłami bezwładności.
Nie występuje na nim żadne niewyważenie. Zauważamy, że w głównych kierunkach (rozmieszczonych centralnie względem masy wirnika) każda cząstka masy znajdująca się po jednej stronie osi obrotu ma swój odpowiednik dokładnie po przeciwnej stronie osi obrotu.
Jeśli osie obrotu i główna oś centralna nie są równoległe, lecz przecinają się w punkcie środka masy, powstaje niewyważenie momentowe. Jeśli przecinają się w innym punkcie lub są względem siebie skośne, pojawia się zarówno niewyważenie siłowe, jak i momentowe. Gdy są równoległe, powstaje wyłącznie niewyważenie siłowe.
Główne i centralne osie bezwładności na rysunku 4 oznaczono jako: 1 i 2. Przecinają się one w środku ciężkości c, w związku z czym występuje moment od niezrównoważonych sił bezwładności.
Dwa przypadki kątowego błędu mocowania
Rozważymy dwa przypadki:
a) obracająca się cienka tarcza przymocowana do osi z błędem kątowym, której grubość pomija się
b) obracający się wirnik o długości L, osadzony w łożyskach tak, że jego główna i centralna oś bezwładności przecina oś obrotu w punkcie odpowiadającym jego środkowi masy – jeśli przyjmiemy, że tarcza ma masę m i średnicę D oraz jest przymocowana do bezmasowego wału z osiowym biciem W, obciążenie stanowi para sił bezwładności.
# where:
$ Wywiera przy tym efekt prostujący na tarczę.
Jest to wypadkowa sił od jednej połowy tarczy. Zastępuje ona wszystkie siły bezwładności działające na jedną połowę tarczy. Ponieważ amplitudy sił są wprost proporcjonalne do odległości od osi obrotu, położenie wypadkowej od jednej połowy tarczy nie leży w środku masy tej połowy.
Warto przy okazji przypomnieć, że środek ciężkości jednej połowy tarczy leży w odległości 0,2122D od średnicy dzielącej tarczę na dwie połowy.
F0% r1& = 0,2945D𝑀𝑚𝜔𝐷 Siła jest przyłożona w odległości:
.
Moment prostujący tarczy wynosi: .
Moment wywoła siły reakcji w podporach wału.
Zatem siła w podporze wynosi:
Wirnik o długości L jest osadzony w łożyskach w taki sposób, że jego główna i centralna oś bezwładności 1 przecina się ze środkiem masy c pod kątem α z osią obrotu. Błąd montażu można również zmierzyć jako bicie promieniowe W po obu stronach wirnika. W takim przypadku wartości bicia są równe, a ich maksima są przesunięte względem siebie kątowo o 180°.
= \/, 𝛼𝛼= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎sin H \/I .
.
𝑅𝑅= # Wirnik jest obciążony momentem od niezrównoważonych sił bezwładności.
Siły te można wyznaczyć, wyobrażając sobie na przykład, że wirnik składa się z wielu tarcz, jak na rysunku 4. Obciążenie tarczy środkowej opisano na rysunku 5. Każda z pozostałych tarcz jest dodatkowo obciążona momentem od siły wynikającej z mimośrodowego położenia jej środka ciężkości względem osi obrotu. Uwzględniając obie składowe, wartość momentu można obliczyć z równania powstałego przez zsumowanie opisanych powyżej składowych obciążenia:
𝑀𝑀+ = 𝑚𝑚𝜔𝜔" sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼H Gdzie: m – masa [kg], D – średnica wirnika [m], L – długość [m], ω – częstotliwość wynikająca z obrotu wirnika.
W powyższym równaniu zauważamy, że dla pewnej wartości D i L, niezależnie od wartości bicia promieniowego na końcach wału, moment siły całego wirnika wynosi zero.
Sprawdźmy ten warunek, przy którym nie wystąpi żaden moment skręcający:
𝐿𝐿= √3 Zauważamy również, że dla stosunku długości do średnicy wirnika znak niewyważenia wywołanego momentem ulega zmianie.
𝐹𝐹*)
#3 𝐷𝐷” − #” 𝐿𝐿”I (4), # # 6X W# #3 𝐷𝐷” = #” 𝐿𝐿”, # # 2 𝐷𝐷= 0,866𝐷𝐷.
/ = √8 ” , This means that for we attach / > √8 correction weights on the “light” side and for on the “heavy” side at the ends of the rotor. This is shown in Figure 6.
𝑀𝑀+]𝑚𝑚!,#)"^ = 2𝑀𝑀+]𝑚𝑚!,#^ = 1 Porównanie całkowitego momentu z równania (4) z powyższym pozwala wyznaczyć masy bez konieczności znajomości wartości kąta:
𝑚𝑚! = 5$ 𝑚𝑚H # / > √8 “
“
𝑚𝑚!
2 𝑚𝑚!𝜔𝜔„𝐿𝐿” sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼 𝛼[𝑁𝑁𝑁𝑁].
φ#3 𝐷𝐷„ − #” 𝐿𝐿”I𝑚𝐿 [𝑘𝑘𝑘𝑘].
“
# Thus, the expression shown is an invariant of the rotor, which has a certain slenderness, that is, the ratio of diameter to length. The value of the mass , calculated in this way, and seated at a distance (t) from the actual axis of rotation, does not depend on the angular error α of the foundation of the rotor when the load is fixed at a distance (t) from the actual axis of rotation (Figure 5). It indicates the phase of foundation of the load on the “light” or “heavy” side of the rotor.
𝑚𝑚!
Ciężarki korekcyjne i siły podporowe
Praktyczne znaczenie mają porównania momentu od siły bezwładności, wywołanego przez osadzenie ciężarka korekcyjnego na końcach wirnika, na jego średnicy, z momentem wyznaczonym w równaniu (4).
𝑚𝑚!𝜔𝜔„ 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝜔𝜔” sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷„ −1 12 𝐿𝐿”` (5), gdzie lewa strona równania to siła bezwładności obliczona z definicji.
Zatem masa pojedynczego ciężarka korekcyjnego wynosi:
𝑚𝑚! = 2𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 Jeżeli odległość między ciężarkami wynosi L, a ciężarki osadzone są na promieniu D/2, niewyważenie momentowe wynosi z definicji:
𝑁𝑁"(9$ = 𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
𝑚𝑚!
16 𝐷𝐷„ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘].
𝐷𝐷 2 𝐿𝐿 [𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚"].
Ponieważ kąt α przyjmuje małe wartości, można z wystarczającą dokładnością przyjąć:
sin 𝛼𝛼= 𝛼𝛼 [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟], cos 𝛼𝛼= 1 Zależność upraszcza się do:
𝑚𝑚! = 2𝑚𝑚 𝐷𝐷𝐷𝐷𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷„ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘], 𝛼𝛼→ [𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟], 𝐷𝐷, 𝐿𝐿→[𝑚𝑚], 𝑚𝑚→[𝑘𝑘𝑘𝑘].
gdzie:
Praktyczne jest również wyznaczenie wartości siły występującej w obu podporach wirnika, przy czym korzysta się z równowagi momentów sił wynikających z reakcji podpór, określonych w równaniu (4):
𝑅𝑅𝐿𝐿4 = 𝑚𝑚𝜔𝜔„ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿”`.
Stąd siła w podporze wynosi:
𝑅𝑅= 1 𝑚𝑚𝜔𝜔„ sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿„` c𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚 𝑠𝑠” e →[𝑁𝑁] 𝐿𝐿4 lub po uproszczeniu:
𝑅𝑅= 1 𝑚𝑚𝜔𝜔„𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿”`, 𝐿𝐿4 𝛼𝛼→[𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟], , 𝐷𝐷, 𝐿𝐿4 →[𝑚𝑚], 𝑚𝑚→[𝑘𝑘𝑘𝑘].
Gdzie:
Siły w obu podporach, wywołane momentem generowanym na wirniku, mają jednakowe wartości niezależnie od położenia wirnika między podporami.
Korzystając z wyznaczonych wartości sił, można określić masy ciężarków korekcyjnych, które – umieszczone na szerokości podpór – muszą obracać się wraz z wirnikiem na promieniu /:
𝑚𝑚:9′ = 2𝑅𝑅 𝜔𝜔"𝐷𝐷= 2 𝐿𝐿4, Jeśli odległość między ciężarkami wynosi, niewyważenie momentowe będzie równe:
𝑁𝑁”;<= = 𝑚𝑚:9′
Podsumowanie
- Niewyważenie można rozpatrywać jako stan obciążenia zewnętrznego, stanowiącego wymuszenie na wirniku podczas obrotu. Wymuszenie to ma składowe: statyczną – w postaci sił odśrodkowych, oraz dynamiczną – w postaci momentu siły działającego w płaszczyźnie zawierającej oś obrotu.
- Niewyważenie sztywnego wirnika może obejmować obie wymienione powyżej składowe niewyważenia. Niewyważenie elastycznego wirnika zawiera ponadto niewyważenie rozłożone na całej długości wirnika, wynikające z ugięcia, i jest zbudowane z iloczynu masy przypadającej na jednostkę długości wirnika oraz jej odległości od osi obrotu. Ugięcie może mieć charakter przestrzenny.
- Niewyważenie wirnika sztywnego nie zależy od prędkości obrotowej wirnika.
- 𝑚𝑚:9'𝜔𝜔„ 𝐷𝐷 2 = 𝑅𝑅, 𝑚𝑚𝛼𝛼_ 1 16 𝐷𝐷” −1 12 𝐿𝐿„` f𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚”
- 𝑚𝑚" g →[𝑘𝑘𝑘𝑘].
- 𝐷𝐷𝐷𝐷4 𝐷𝐷 2 𝐿𝐿4 = 𝑚𝑚𝑚𝑚_ 1 16 𝐷𝐷„ −1 12 𝐿𝐿”` [𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚”].
- Niewyważenie elastycznego wirnika zależy od prędkości obrotowej.
- Niewyważenie sztywnego wirnika można przedstawić za pomocą tzw. wektora głównego i momentu głównego niewyważenia albo za pomocą dwóch wektorów niewyważenia, czyli sił bezwładności, przesuniętych względem siebie wzdłuż długości wirnika, o różnych wartościach i działających w różnych kierunkach.
- Niewyważenie statyczne mierzone jest zazwyczaj w lub. Jest ono wynikiem pomnożenia nadmiarowej masy skupionej w punkcie, osadzonej w odległości r od osi obrotu.
- 𝑚𝑚!,
- Niewyważenie momentowe mierzone jest zazwyczaj w lub, ponieważ powstaje ono z par niewyważeń statycznych rozłożonych wzdłuż długości wirnika.
- / > 0,866,
- Dla stosunku długości do średnicy wirnika moment zmienia kierunek działania z prostującego na zwiększający moment niewyważenia. Dr inż. Mirosław Malec, były prezes Cimat Sp. z o.o.
- [𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔] [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘].
- [𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚„]𝑘𝑘𝑘𝑘𝑟 [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚”],
